Интеграл e^x*sin(e^x) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

         $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \cos{\left(e^{x} \right)}$

   Метод #2

   1. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \sin{\left(e^{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

         $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   2. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \cos{\left(e^{x} \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{2 x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{2 x}$.

            Тогда пусть $du = 2 e^{2 x} dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{1}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   3. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{\sin{\left(e^{x} \right)}}{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{3 x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{2}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   4. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = - \frac{\cos{\left(e^{x} \right)}}{6}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{6}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = 4 x$.

         Тогда пусть $du = 4 dx$ и подставим $\frac{du}{4}$:

         $\int \frac{e^{u}}{16}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{4}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{4}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{4 x}}{4}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   5. Используем интегрирование по частям:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      пусть $u{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(e^{x} \right)}}{24}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{5 x}$.

      Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{e^{x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{24}$.

      Чтобы найти $v{\left(x \right)}$:

      1. пусть $u = 5 x$.

         Тогда пусть $du = 5 dx$ и подставим $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{e^{u}}{25}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{5}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{5}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{5}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{5 x}}{5}$

      Теперь решаем под-интеграл.

   6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int \frac{e^{6 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{120}\, dx = \frac{\int e^{6 x} \cos{\left(e^{x} \right)}\, dx}{120}$

      1. пусть $u = e^{x}$.

         Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

         $\int u^{5} \cos{\left(u \right)}\, du$

         1. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = u^{5}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 5 u^{4}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         2. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = 5 u^{4}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 20 u^{3}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         3. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = - 20 u^{3}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 60 u^{2}$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         4. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = - 60 u^{2}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - 120 u$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         5. Используем интегрирование по частям:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            пусть $u{\left(u \right)} = 120 u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

            Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 120$.

            Чтобы найти $v{\left(u \right)}$:

            1. Интеграл от косинуса есть синус:

               $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

            Теперь решаем под-интеграл.

         6. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 120 \sin{\left(u \right)}\, du = 120 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. Интеграл от синуса есть минус косинус:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Таким образом, результат будет: $- 120 \cos{\left(u \right)}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $e^{5 x} \sin{\left(e^{x} \right)} + 5 e^{4 x} \cos{\left(e^{x} \right)} - 20 e^{3 x} \sin{\left(e^{x} \right)} - 60 e^{2 x} \cos{\left(e^{x} \right)} + 120 e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} + 120 \cos{\left(e^{x} \right)}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{5 x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{120} + \frac{e^{4 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{24} - \frac{e^{3 x} \sin{\left(e^{x} \right)}}{6} - \frac{e^{2 x} \cos{\left(e^{x} \right)}}{2} + e^{x} \sin{\left(e^{x} \right)} + \cos{\left(e^{x} \right)}$

2. Теперь упростить:

   $- \cos{\left(e^{x} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \cos{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \cos{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$