Интеграл (e^x+1)^3 d{x}

Вы ввели [src]

  1             
  /             
 |              
 |          3   
 |  / x    \    
 |  \e  + 1/  dx
 |              
/               
0

$$\int\limits_{0}^{1} \left(e^{x} + 1\right)^{3}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
Метод #1
1. пусть $u = e^{x}$ .
  
  Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$ :
  
  $\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}{u}\, du$
  1. Перепишите подынтегральное выражение:
    
    $\frac{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}{u} = u^{2} + 3 u + 3 + \frac{1}{u}$
  2. Интегрируем почленно:
    1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$
      
      Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$
    1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 3\, du = 3 u$
    1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$ .
    Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u + \log{\left(u \right)}$
  Если сейчас заменить $u$ ещё в:
  
  $\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$
Метод #2
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(e^{x} + 1\right)^{3} = e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 3 e^{x} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
    Метод #1
    
    пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
    
    Интеграл от экспоненты есть он же сам.
    
    $\int e^{u}\, du = e^{u}$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{3 x}}{3}$
    Метод #2
    
    пусть $u = e^{3 x}$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{1}{9}\, du$
    
    Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$
    
    Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, du = u$
    
    Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$
    
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{3 x}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 e^{2 x}\, dx = 3 \int e^{2 x}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 e^{2 x}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$
    1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$
    Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $x + \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x}$
Метод #3
1. Перепишите подынтегральное выражение:
  
  $\left(e^{x} + 1\right)^{3} = e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 3 e^{x} + 1$
2. Интегрируем почленно:
  1. пусть $u = 3 x$ .
    
    Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$ :
    
    $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$
    1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{e^{3 x}}{3}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 e^{2 x}\, dx = 3 \int e^{2 x}\, dx$
    1. пусть $u = 2 x$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 x}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{3 e^{2 x}}{2}$
  1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$
    1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{x}\, dx = e^{x}$
    Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$
  1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
    
    $\int 1\, dx = x$
  Результат есть: $x + \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x}$
Теперь упростить:

$\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$
Добавляем постоянную интегрирования:

$\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                                                 
 |                                                  
 |         3                  3*x      2*x          
 | / x    \              x   e      3*e         / x\
 | \e  + 1/  dx = C + 3*e  + ---- + ------ + log\e /
 |                            3       2             
/

$${{e^{3\,x}}\over{3}}+{{3\,e^{2\,x}}\over{2}}+3\,e^{x}+x$$

Упростить

График

Построить график f(x)

Ответ [src]

              3      2
  23         e    3*e 
- -- + 3*e + -- + ----
  6          3     2

$${{2\,e^3+9\,e^2+18\,e+6}\over{6}}-{{29}\over{6}}$$

=

              3      2
  23         e    3*e 
- -- + 3*e + -- + ----
  6          3     2

$$- \frac{23}{6} + \frac{e^{3}}{3} + 3 e + \frac{3 e^{2}}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

22.1002752748357

22.1002752748357

График

$Интеграл (e^x+1)^3 d{x}$

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл (e^x+1)^3 d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #2

Метод #1

Метод #2

Метод #3