Интеграл (e^x+1)^3 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = e^{x}$.

      Тогда пусть $du = e^{x} dx$ и подставим $du$:

      $\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}{u}\, du$

      1. Перепишите подынтегральное выражение:

         $\frac{u^{3} + 3 u^{2} + 3 u + 1}{u} = u^{2} + 3 u + 3 + \frac{1}{u}$

      2. Интегрируем почленно:

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$

            1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{3 u^{2}}{2}$

         1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

            $\int 3\, du = 3 u$

         1. Интеграл $\frac{1}{u}$ есть $\log{\left(u \right)}$.

         Результат есть: $\frac{u^{3}}{3} + \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u + \log{\left(u \right)}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(e^{x} + 1\right)^{3} = e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 3 e^{x} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 3 x$.

            Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{3 x}$.

            Тогда пусть $du = 3 e^{3 x} dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{1}{9}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{3}\, du = \frac{\int 1\, du}{3}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{3}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{2 x}\, dx = 3 \int e^{2 x}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 e^{2 x}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $x + \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x}$

   Метод #3

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(e^{x} + 1\right)^{3} = e^{3 x} + 3 e^{2 x} + 3 e^{x} + 1$

   2. Интегрируем почленно:

      1. пусть $u = 3 x$.

         Тогда пусть $du = 3 dx$ и подставим $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{e^{u}}{9}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{3}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{3}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{3 x}}{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{2 x}\, dx = 3 \int e^{2 x}\, dx$

         1. пусть $u = 2 x$.

            Тогда пусть $du = 2 dx$ и подставим $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{2 x}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $\frac{3 e^{2 x}}{2}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 3 e^{x}\, dx = 3 \int e^{x}\, dx$

         1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Таким образом, результат будет: $3 e^{x}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 1\, dx = x$

      Результат есть: $x + \frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{e^{3 x}}{3} + \frac{3 e^{2 x}}{2} + 3 e^{x} + \log{\left(e^{x} \right)}+ \mathrm{constant}$