Интеграл e^(10*x+2) d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{10 x + 2} = e^{2} e^{10 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{2} e^{10 x}\, dx = e^{2} \int e^{10 x}\, dx$

      1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

         Метод #1

         1. пусть $u = 10 x$.

            Тогда пусть $du = 10 dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{e^{u}}{100}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{e^{u}}{10}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{10}$

               1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{10}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{10 x}}{10}$

         Метод #2

         1. пусть $u = e^{10 x}$.

            Тогда пусть $du = 10 e^{10 x} dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

            $\int \frac{1}{100}\, du$

            1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

               $\int \frac{1}{10}\, du = \frac{\int 1\, du}{10}$

               1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

                  $\int 1\, du = u$

               Таким образом, результат будет: $\frac{u}{10}$

            Если сейчас заменить $u$ ещё в:

            $\frac{e^{10 x}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2} e^{10 x}}{10}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $e^{10 x + 2} = e^{2} e^{10 x}$

   2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

      $\int e^{2} e^{10 x}\, dx = e^{2} \int e^{10 x}\, dx$

      1. пусть $u = 10 x$.

         Тогда пусть $du = 10 dx$ и подставим $\frac{du}{10}$:

         $\int \frac{e^{u}}{100}\, du$

         1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

            $\int \frac{e^{u}}{10}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{10}$

            1. Интеграл от экспоненты есть он же сам.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{10}$

         Если сейчас заменить $u$ ещё в:

         $\frac{e^{10 x}}{10}$

      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2} e^{10 x}}{10}$

2. Теперь упростить:

   $\frac{e^{10 x + 2}}{10}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $\frac{e^{10 x + 2}}{10}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$\frac{e^{10 x + 2}}{10}+ \mathrm{constant}$