Господин Экзамен

Другие калькуляторы


dx/cos(x)

Интеграл dx/cos(x) d{x}

Пределы интегрирования:

от до
v

График:

от до

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
  1            
  /            
 |             
 |      1      
 |  1*------ dx
 |    cos(x)   
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} 1 \cdot \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}\, dx$$
Подробное решение
Дан интеграл:
  /             
 |              
 |       1      
 | 1*1*------ dx
 |     cos(x)   
 |              
/               
Подинтегральная функция
    1   
1*------
  cos(x)
Домножим числитель и знаменатель на
cos(x)
получим
    1      1*cos(1*x)
1*------ = ----------
  cos(x)      2      
           cos (1*x) 
Т.к.
sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1
то
   2             2   
cos (x) = 1 - sin (x)
преобразуем знаменатель
1*cos(1*x)     1*cos(1*x) 
---------- = -------------
   2                2     
cos (1*x)    1 - sin (1*x)
сделаем замену
u = sin(x)
тогда интеграл
  /                  
 |                   
 |   1*cos(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*x)     
 |                   
/                    
  
  /                  
 |                   
 |   1*cos(1*x)      
 | ------------- dx  
 |        2         =
 | 1 - sin (1*x)     
 |                   
/                    
  
Т.к. du = dx*cos(x)
  /                
 |                 
 |   1*cos(1*x)    
 | ------------- du
 |        2        
 | 1 - sin (1*x)   
 |                 
/                  
Перепишем подинтегральную функцию
  1*cos(1*x)    1*1 /  1       1  \
------------- = ---*|----- + -----|
       2         2  \1 - u   1 + u/
1 - sin (1*x)                      
тогда
                        /             /          
                       |             |           
                       |   1         |   1       
                       | ----- du    | ----- du  
  /                    | 1 + u       | 1 - u     
 |                     |             |           
 |   1*cos(1*x)       /             /           =
 | ------------- du = ----------- + -----------  
 |        2                2             2       
 | 1 - sin (1*x)                                 
 |                                               
/                                                
  
= u*cos(x)/(1 - sin(x)^2)
делаем обратную замену
u = sin(x)
Ответ
  /                                                       
 |                                                        
 |       1         log(1 + sin(x))   log(-1 + sin(x))     
 | 1*1*------ dx = --------------- - ---------------- + C0
 |     cos(x)             2                 2             
 |                                                        
/                                                         
где C0 - это постоянная, не зависящая от x
Ответ (Неопределённый) [src]
  /                                                    
 |                                                     
 |     1             log(1 + sin(x))   log(-1 + sin(x))
 | 1*------ dx = C + --------------- - ----------------
 |   cos(x)                 2                 2        
 |                                                     
/                                                      
$${{\log \left(\sin x+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(\sin x-1\right) }\over{2}}$$
График
Ответ [src]
log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
       2                 2       
$${{\log \left(\sin 1+1\right)}\over{2}}-{{\log \left(1-\sin 1\right) }\over{2}}$$
=
=
log(1 + sin(1))   log(1 - sin(1))
--------------- - ---------------
       2                 2       
$$\frac{\log{\left(\sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2} - \frac{\log{\left(- \sin{\left(1 \right)} + 1 \right)}}{2}$$
Численный ответ [src]
1.22619117088352
1.22619117088352
График
Интеграл dx/cos(x) d{x}

    Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.