Господин Экзамен

Lang:

Другие калькуляторы

Как пользоваться?
Интеграл d{x}:
Интеграл (sin(x)/2-cos(x)/2)^2
Интеграл x^(3/4)
Интеграл sqrt(9)-x^2
Интеграл 1/(x^2+x^4)
График функции y =:
2*x*log(x)
Производная:
2*x*log(x)
Предел функции:
2*x*log(x)
Идентичные выражения
два *x*log(x)
2 умножить на x умножить на логарифм от (x)
два умножить на x умножить на логарифм от (x)
2xlog(x)
2xlogx
2*x*log(x)dx
Похожие выражения
(3*x^2+2*x)*log(x-3)
(x^2+2*x)*log(x)
(3*x^2-2*x)*log(x)
1/(x^2+2*x)*log(x)^(3)

Интеграл 2xlog(x) d{x}

Решение

Вы ввели [src]

  1              
  /              
 |               
 |  2*x*log(x) dx
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} 2 x \log{\left(x \right)}\, dx$$

Упростить

Подробное решение

Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

$\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx$
1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
  Метод #1
  1. пусть $u = \log{\left(x \right)}$ .
    
    Тогда пусть $du = \frac{dx}{x}$ и подставим $du$ :
    
    $\int u e^{2 u}\, du$
    1. Используем интегрирование по частям:
      
      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
      
      пусть $u{\left(u \right)} = u$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}$ .
      
      Затем $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$ .
      
      Чтобы найти $v{\left(u \right)}$ :
      
      Есть несколько способов вычислить этот интеграл.
      
      Метод #1
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Метод #2
      
      пусть $u = e^{2 u}$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 e^{2 u} du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{1}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{\int 1\, du}{2}$
      
      Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
      
      $\int 1\, du = u$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{u}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Теперь решаем под-интеграл.
    2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}$
      
      пусть $u = 2 u$ .
      
      Тогда пусть $du = 2 du$ и подставим $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{e^{u}}{4}\, du$
      
      Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
      
      $\int \frac{e^{u}}{2}\, du = \frac{\int e^{u}\, du}{2}$
      
      Интеграл от экспоненты есть он же сам.
      
      $\int e^{u}\, du = e^{u}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{u}}{2}$
      
      Если сейчас заменить $u$ ещё в:
      
      $\frac{e^{2 u}}{2}$
      
      Таким образом, результат будет: $\frac{e^{2 u}}{4}$
    Если сейчас заменить $u$ ещё в:
    
    $\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}$
  Метод #2
  1. Используем интегрирование по частям:
    
    $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$
    
    пусть $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ и пусть $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$ .
    
    Затем $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$ .
    
    Чтобы найти $v{\left(x \right)}$ :
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Теперь решаем под-интеграл.
  2. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
    
    $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$
    1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$ :
      
      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$
    Таким образом, результат будет: $\frac{x^{2}}{4}$
Таким образом, результат будет: $x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}$
Теперь упростить:

$x^{2} \left(\log{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right)$
Добавляем постоянную интегрирования:

$x^{2} \left(\log{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$x^{2} \left(\log{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}$

Ответ (Неопределённый) [src]

  /                     2            
 |                     x     2       
 | 2*x*log(x) dx = C - -- + x *log(x)
 |                     2             
/

$$2\,\left({{x^2\,\log x}\over{2}}-{{x^2}\over{4}}\right)$$

Упростить

Ответ [src]

-1/2

$$-{{1}\over{2}}$$

-1/2

$$- \frac{1}{2}$$

Упростить

Численный ответ [src]

-0.5

-0.5

Данные примеры также можно применять при вводе верхнего и нижнего предела интегрирования.

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 2xlog(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Интеграл 2*x*log(x) d{x}

Пределы интегрирования:

График:

Кусочно-заданная:

Решение

Метод #1

Метод #1

Метод #2

Метод #2

Интеграл 2xlog(x) d{x}