Интеграл (4-5*x)^7 d{x}

1. Есть несколько способов вычислить этот интеграл.

   Метод #1

   1. пусть $u = 4 - 5 x$.

      Тогда пусть $du = - 5 dx$ и подставим $- \frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{7}}{25}\, du$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- \frac{u^{7}}{5}\right)\, du = - \frac{\int u^{7}\, du}{5}$

         1. Интеграл $u^{n}$ есть $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{u^{8}}{40}$

      Если сейчас заменить $u$ ещё в:

      $- \frac{\left(4 - 5 x\right)^{8}}{40}$

   Метод #2

   1. Перепишите подынтегральное выражение:

      $\left(4 - 5 x\right)^{7} = - 78125 x^{7} + 437500 x^{6} - 1050000 x^{5} + 1400000 x^{4} - 1120000 x^{3} + 537600 x^{2} - 143360 x + 16384$

   2. Интегрируем почленно:

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 78125 x^{7}\right)\, dx = - 78125 \int x^{7}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Таким образом, результат будет: $- \frac{78125 x^{8}}{8}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 437500 x^{6}\, dx = 437500 \int x^{6}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Таким образом, результат будет: $62500 x^{7}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1050000 x^{5}\right)\, dx = - 1050000 \int x^{5}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Таким образом, результат будет: $- 175000 x^{6}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 1400000 x^{4}\, dx = 1400000 \int x^{4}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Таким образом, результат будет: $280000 x^{5}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 1120000 x^{3}\right)\, dx = - 1120000 \int x^{3}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Таким образом, результат будет: $- 280000 x^{4}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int 537600 x^{2}\, dx = 537600 \int x^{2}\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Таким образом, результат будет: $179200 x^{3}$

      1. Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:

         $\int \left(- 143360 x\right)\, dx = - 143360 \int x\, dx$

         1. Интеграл $x^{n}$ есть $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ когда $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Таким образом, результат будет: $- 71680 x^{2}$

      1. Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:

         $\int 16384\, dx = 16384 x$

      Результат есть: $- \frac{78125 x^{8}}{8} + 62500 x^{7} - 175000 x^{6} + 280000 x^{5} - 280000 x^{4} + 179200 x^{3} - 71680 x^{2} + 16384 x$

2. Теперь упростить:

   $- \frac{\left(5 x - 4\right)^{8}}{40}$

3. Добавляем постоянную интегрирования:

   $- \frac{\left(5 x - 4\right)^{8}}{40}+ \mathrm{constant}$

Ответ:

$- \frac{\left(5 x - 4\right)^{8}}{40}+ \mathrm{constant}$