x^2+x<42 неравенство

Дано неравенство:
$$x^{2} + x < 42$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$x^{2} + x = 42$$
Решаем:
Перенесём правую часть уравнения в
левую часть уравнения со знаком минус.

Уравнение превратится из
$$x^{2} + x = 42$$
в
$$\left(x^{2} + x\right) - 42 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -42$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$1^{2} - 1 \cdot 4 \left(-42\right) = 169$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 6$$
Упростить
$$x_{2} = -7$$
Упростить
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = -7$$
Данные корни
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = 6$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
подставляем в выражение
$$x^{2} + x < 42$$
$$- \frac{71}{10} + \left(- \frac{71}{10}\right)^{2} < 42$$

4331     
---- < 42
100      

но

4331     
---- > 42
100      

Тогда
$$x < -7$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -7 \wedge x < 6$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1