(x-7)*(x+3)<0 неравенство

Дано неравенство:
$$\left(x + 3\right) \left(x - 7\right) < 0$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left(x + 3\right) \left(x - 7\right) = 0$$
Решаем:
Раскроем выражение в уравнении
$$\left(x + 3\right) \left(x - 7\right) + 0 = 0$$
Получаем квадратное уравнение
$$x^{2} - 4 x - 21 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ x^2 + b\ x + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -4$$
$$c = -21$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-4\right)^{2} - 1 \cdot 4 \left(-21\right) = 100$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$x_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$x_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$x_{1} = 7$$
Упростить
$$x_{2} = -3$$
Упростить
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = -3$$
Данные корни
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = 7$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left(x + 3\right) \left(x - 7\right) < 0$$
$$\left(- \frac{31}{10} + 3\right) \left(\left(-1\right) 7 - \frac{31}{10}\right) < 0$$

101    
--- < 0
100    

но

101    
--- > 0
100    

Тогда
$$x < -3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -3 \wedge x < 7$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1