3*9^x+11*3^x<4 неравенство

Дано неравенство:
$$11 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} < 4$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$11 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} = 4$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$11 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} = 4$$
или
$$\left(11 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x}\right) - 4 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$3 v^{2} + 11 v - 4 = 0$$
или
$$3 v^{2} + 11 v - 4 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 3$$
$$b = 11$$
$$c = -4$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right) 3 \cdot 4 \left(-4\right) + 11^{2} = 169$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = \frac{1}{3}$$
Упростить
$$v_{2} = -4$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
Данные корни
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$11 \cdot 3^{x} + 3 \cdot 9^{x} < 4$$
$$\frac{3}{9^{\frac{41}{10}}} + \frac{11}{3^{\frac{41}{10}}} < 4$$

 4/5       9/10    
3      11*3        
---- + -------- < 4
6561     243       
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -4$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -4$$
$$x > \frac{1}{3}$$