Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Неравенство:
- log(2,x+2)-log(2,x-4)>=1
-
2*x-3<6
-
sin(x)<2/3
-
(4*x-3)*(x+2)-(x-8)^2>=-16
- Предел функции:
-
sin(x)
- График функции y =:
-
sin(x)
- 2/3
- Производная:
-
sin(x)
- 2/3
- Интеграл d{x}:
-
2/3
-
Идентичные выражения
- sin(x)< два / три
- синус от (x) меньше 2 делить на 3
- синус от (x) меньше два делить на три
- sinx<2/3
- sin(x)<2 разделить на 3
-
Похожие выражения
- (x^2-7*x+12)/(3*x+15)>0
- sin(x/2)*cos(x/2)>1/4
- sqrt(2)*sin(x-pi/4)+1>=0
- sinx<2/3
sin(x)<2/3 неравенство
Решение
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\sin{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} \right)} < \frac{2}{3}$$
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
$$\sin{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(x \right)} = \frac{2}{3}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
, где n - любое целое число
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(x \right)} < \frac{2}{3}$$
$$\sin{\left(2 \pi n - \frac{1}{10} + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} \right)} < \frac{2}{3}$$
-sin(1/10 - asin(2/3)) < 2/3
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
_____ _____
\ /
-------ο-------ο-------
x_1 x_2Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$x > 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{2}{3} \right)} + \pi$$
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ
[src]
/ / / ___\\ / / ___\ \\ | | |2*\/ 5 || | |2*\/ 5 | || Or|And|0 <= x, x < atan|-------||, And|x < 2*pi, pi - atan|-------| < x|| \ \ \ 5 // \ \ 5 / //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} + \pi < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < atan(2*sqrt(5)/5)))∨((x < 2*pi)∧(pi - atan(2*sqrt(5)/5) < x))
Быстрый ответ 2
[src]
/ ___\ / ___\
|2*\/ 5 | |2*\/ 5 |
[0, atan|-------|) U (pi - atan|-------|, 2*pi)
\ 5 / \ 5 /
$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)}\right) \cup \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{5}}{5} \right)} + \pi, 2 \pi\right)$$
x in Union(Interval.Ropen(0, atan(2*sqrt(5)/5)), Interval.open(pi - atan(2*sqrt(5)/5), 2*pi))
График