sin(3*x)<1/2 неравенство

Дано неравенство:
$$\sin{\left(3 x \right)} < \frac{1}{2}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\sin{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\sin{\left(3 x \right)} = \frac{1}{2}$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$3 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$3 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
Или
$$3 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$3 x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, где n - любое целое число
Разделим обе части полученного уравнения на
$$3$$
получим промежуточный ответ:
$$x = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{5 \pi}{18}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{5 \pi}{18}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{5 \pi}{18}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi n}{3} + \frac{5 \pi}{18}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}\right) - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{18}$$
подставляем в выражение
$$\sin{\left(3 x \right)} < \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(3 \cdot \left(\frac{2 \pi n}{3} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{18}\right) \right)} < \frac{1}{2}$$

   /3    pi\      
cos|-- + --| < 1/2
   \10   3 /      

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_1      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < \frac{2 \pi n}{3} + \frac{\pi}{18}$$
$$x > \frac{2 \pi n}{3} + \frac{5 \pi}{18}$$