|x^2-8|<1 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{x^{2} - 8}\right| < 1$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{x^{2} - 8}\right| = 1$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$x^{2} - 8 \geq 0$$
или
$$\left(x \leq - 2 \sqrt{2} \wedge -\infty < x\right) \vee \left(2 \sqrt{2} \leq x \wedge x < \infty\right)$$
получаем уравнение
$$\left(x^{2} - 8\right) - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$x^{2} - 9 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

2.
$$x^{2} - 8 < 0$$
или
$$- 2 \sqrt{2} < x \wedge x < 2 \sqrt{2}$$
получаем уравнение
$$\left(- x^{2} + 8\right) - 1 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- x^{2} + 7 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$


$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
Данные корни
$$x_{1} = -3$$
$$x_{3} = - \sqrt{7}$$
$$x_{4} = \sqrt{7}$$
$$x_{2} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{x^{2} - 8}\right| < 1$$
$$\left|{\left(-1\right) 8 + \left(- \frac{31}{10}\right)^{2}}\right| < 1$$

161    
--- < 1
100    

но

161    
--- > 1
100    

Тогда
$$x < -3$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -3 \wedge x < - \sqrt{7}$$

         _____           _____  
        /     \         /     \  
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x_1      x_3      x_4      x_2

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x > -3 \wedge x < - \sqrt{7}$$
$$x > \sqrt{7} \wedge x < 3$$