|3*x+7|<5 неравенство

Дано неравенство:
$$\left|{3 x + 7}\right| < 5$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\left|{3 x + 7}\right| = 5$$
Решаем:
Для каждого выражения под модулем в уравнении
допускаем случаи, когда соответствующее выражениежение ">= 0" или "< 0",
решаем получившиеся уравнения.

1.
$$3 x + 7 \geq 0$$
или
$$- \frac{7}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
получаем уравнение
$$\left(3 x + 7\right) - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
$$3 x + 2 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$

2.
$$3 x + 7 < 0$$
или
$$-\infty < x \wedge x < - \frac{7}{3}$$
получаем уравнение
$$\left(- 3 x - 7\right) - 5 = 0$$
упрощаем, получаем
$$- 3 x - 12 = 0$$
решение на этом интервале:
$$x_{2} = -4$$


$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
$$x_{2} = -4$$
Данные корни
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
подставляем в выражение
$$\left|{3 x + 7}\right| < 5$$
$$\left|{3 \left(- \frac{41}{10}\right) + 7}\right| < 5$$

53    
-- < 5
10    

но

53    
-- > 5
10    

Тогда
$$x < -4$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > -4 \wedge x < - \frac{2}{3}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1