log(2*x)<=3 неравенство

Дано неравенство:
$$\log{\left(2 x \right)} \leq 3$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\log{\left(2 x \right)} = 3$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\log{\left(2 x \right)} = 3$$
$$\log{\left(2 x \right)} = 3$$
Это уравнение вида:

log(v)=p

По определению log

v=e^p

тогда
$$2 x + 0 = e^{\frac{3}{1}}$$
упрощаем
$$2 x = e^{3}$$
$$x = \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}$$
подставляем в выражение
$$\log{\left(2 x \right)} \leq 3$$
$$\log{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}\right) \right)} \leq 3$$

   /  1    3\     
log|- - + e | <= 3
   \  5     /     

значит решение неравенства будет при:
$$x \leq \frac{e^{3}}{2}$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x_1