Господин Экзамен
Другие калькуляторы
-
Как пользоваться?
- Неравенство:
- sin(x-pi/3)>=sqrt(3)/2
- |x-2|<0
-
sqrt(x^2-6*x+9)<3
-
cos(x)>sin(x)^2
- Производная:
-
cos(x)
-
sin(x)^2
- График функции y =:
-
cos(x)
-
sin(x)^2
- Предел функции:
-
cos(x)
- Интеграл d{x}:
- sin(x)^2
-
Идентичные выражения
- cos(x)>sin(x)^ два
- косинус от (x) больше синус от (x) в квадрате
- косинус от (x) больше синус от (x) в степени два
- cos(x)>sin(x)2
- cosx>sinx2
- cos(x)>sin(x)²
- cos(x)>sin(x) в степени 2
- cosx>sinx^2
-
Похожие выражения
- cos(x+pi/2)>sqrt(3)/2
- cosx>sinx^2
cos(x)>sin(x)^2 неравенство
Решение
Вы ввели
[src]
2 cos(x) > sin (x)
$$\cos{\left(x \right)} > \sin^{2}{\left(x \right)}$$
cos(x) > sin(x)^2
Подробное решение
Дано неравенство:
$$\cos{\left(x \right)} > \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$
преобразуем
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$1^{2} - 1 \cdot 4 \left(-1\right) = 5$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 i \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 i \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} > \sin^{2}{\left(x \right)}$$
$$\cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > \sin^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10} \right)}$$
Тогда
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$\cos{\left(x \right)} > \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$\cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$$
преобразуем
$$- \sin^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} = 0$$
$$\cos^{2}{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
Это уравнение вида
$$a\ w^2 + b\ w + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = -1$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$1^{2} - 1 \cdot 4 \left(-1\right) = 5$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$w_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$w_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$w_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$$
Упростить
$$w_{2} = - \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$$
Упростить
делаем обратную замену
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
- это простейшее тригонометрическое уравнение
Это уравнение преобразуется в
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
Или
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, где n - любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{1} = - 2 i \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 i \operatorname{atanh}{\left(\sqrt{2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{3} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Исключаем комплексные решения:
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
Данные корни
$$x_{1} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{1}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10}$$
=
$$- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos{\left(x \right)} > \sin^{2}{\left(x \right)}$$
$$\cos{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10} \right)} > \sin^{2}{\left(- 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} - \frac{1}{10} \right)}$$
/ / ____________\\ / / ____________\\ |1 | / ___ || 2|1 | / ___ || cos|-- + 2*atan\\/ -2 + \/ 5 /| > sin |-- + 2*atan\\/ -2 + \/ 5 /| \10 / \10 /
Тогда
$$x < - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
не выполняется
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x > - 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)} \wedge x < 2 \operatorname{atan}{\left(\sqrt{-2 + \sqrt{5}} \right)}$$
_____
/ \
-------ο-------ο-------
x_1 x_2
Решение неравенства на графике
Быстрый ответ 2
[src]
/ ___ \ / ___ \
| \/ 2 | | \/ 2 |
[0, atan|---------------|) U (- atan|---------------| + 2*pi, 2*pi)
| ____________| | ____________|
| / ___ | | / ___ |
\\/ -1 + \/ 5 / \\/ -1 + \/ 5 /
$$x\ in\ \left[0, \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}\right) \cup \left(- \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi, 2 \pi\right)$$
x in Union(Interval.Ropen(0, atan(sqrt(2)/sqrt(-1 + sqrt(5)))), Interval.open(-atan(sqrt(2)/sqrt(-1 + sqrt(5))) + 2*pi, 2*pi))
Быстрый ответ
[src]
/ / / ___ \\ / / ___ \ \\ | | | \/ 2 || | | \/ 2 | || Or|And|0 <= x, x < atan|---------------||, And|x < 2*pi, - atan|---------------| + 2*pi < x|| | | | ____________|| | | ____________| || | | | / ___ || | | / ___ | || \ \ \\/ -1 + \/ 5 // \ \\/ -1 + \/ 5 / //
$$\left(0 \leq x \wedge x < \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)}\right) \vee \left(x < 2 \pi \wedge - \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-1 + \sqrt{5}}} \right)} + 2 \pi < x\right)$$
((0 <= x)∧(x < atan(sqrt(2)/sqrt(-1 + sqrt(5)))))∨((x < 2*pi)∧(-atan(sqrt(2)/sqrt(-1 + sqrt(5))) + 2*pi < x))
График