9^x-3^x<6 неравенство

Дано неравенство:
$$- 3^{x} + 9^{x} < 6$$
Чтобы решить это нер-во - надо сначала решить соотвествующее уравнение:
$$- 3^{x} + 9^{x} = 6$$
Решаем:
Дано уравнение:
$$- 3^{x} + 9^{x} = 6$$
или
$$\left(- 3^{x} + 9^{x}\right) - 6 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 3^{x}$$
получим
$$v^{2} - v - 6 = 0$$
или
$$v^{2} - v - 6 = 0$$
Это уравнение вида
$$a\ v^2 + b\ v + c = 0$$
Квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
где $D = b^2 - 4 a c$ - это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -6$$
, то
$$D = b^2 - 4\ a\ c = $$
$$\left(-1\right)^{2} - 1 \cdot 4 \left(-6\right) = 25$$
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
$$v_1 = \frac{(-b + \sqrt{D})}{2 a}$$
$$v_2 = \frac{(-b - \sqrt{D})}{2 a}$$
или
$$v_{1} = 3$$
Упростить
$$v_{2} = -2$$
Упростить
делаем обратную замену
$$3^{x} = v$$
или
$$x = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -2$$
Данные корни
$$x_{2} = -2$$
$$x_{1} = 3$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} < x_{2}$$
Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
подставляем в выражение
$$- 3^{x} + 9^{x} < 6$$
$$- \frac{1}{3^{\frac{21}{10}}} + \frac{1}{9^{\frac{21}{10}}} < 6$$

   9/10    4/5    
  3       3       
- ----- + ---- < 6
    27    243     
    

значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x < -2$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x_2      x_1

Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x < -2$$
$$x > 3$$