Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3+3*x^2-24*x+1
-
x^4-2*x^2+2
-
x^2+5*x+4
-
x^10
- Производная:
-
x^3+3*x^2-24*x+1
-
Идентичные выражения
- x^ три + три *x^ два - двадцать четыре *x+ один
- x в кубе плюс 3 умножить на x в квадрате минус 24 умножить на x плюс 1
- x в степени три плюс три умножить на x в степени два минус двадцать четыре умножить на x плюс один
- x3+3*x2-24*x+1
- x³+3*x²-24*x+1
- x в степени 3+3*x в степени 2-24*x+1
- x^3+3x^2-24x+1
- x3+3x2-24x+1
-
Похожие выражения
- x^3-3*x^2-24*x+1
- x^3+3*x^2-24*x-1
- x^3+3*x^2+24*x+1
График функции y = x^3+3*x^2-24*x+1
Решение
Вы ввели
[src]
3 2 f(x) = x + 3*x - 24*x + 1
$$f{\left(x \right)} = x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1$$
f = x^3 + 3*x^2 - 24*x + 1
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{729}{2} + \frac{729 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{27}{\sqrt[3]{\frac{729}{2} + \frac{729 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -6.63815572471545$$
$$x_{2} = 0.0418890660015821$$
$$x_{3} = 3.59626665871387$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 - \frac{\sqrt[3]{\frac{729}{2} + \frac{729 \sqrt{3} i}{2}}}{3} - \frac{27}{\sqrt[3]{\frac{729}{2} + \frac{729 \sqrt{3} i}{2}}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -6.63815572471545$$
$$x_{2} = 0.0418890660015821$$
$$x_{3} = 3.59626665871387$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-4, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + 6 x - 24 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(-4, 81)
(2, -27)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -4$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -4\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-4, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x + 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[-1, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 3*x^2 - 24*x + 1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1 = - x^{3} + 3 x^{2} + 24 x + 1$$
- Нет
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1 = x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1 = - x^{3} + 3 x^{2} + 24 x + 1$$
- Нет
$$x^{3} + 3 x^{2} - 24 x + 1 = x^{3} - 3 x^{2} - 24 x - 1$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График