Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x*(sin(x))
-
6*x-8*x^2
-
x^3+2*x^2-9*x-18
-
7+6*x-x^2
-
Идентичные выражения
- x^ три + два *x^ два - девять *x- восемнадцать
- x в кубе плюс 2 умножить на x в квадрате минус 9 умножить на x минус 18
- x в степени три плюс два умножить на x в степени два минус девять умножить на x минус восемнадцать
- x3+2*x2-9*x-18
- x³+2*x²-9*x-18
- x в степени 3+2*x в степени 2-9*x-18
- x^3+2x^2-9x-18
- x3+2x2-9x-18
-
Похожие выражения
- x^3-2*x^2-9*x-18
- x^3+2*x^2+9*x-18
- x^3+2*x^2-9*x+18
График функции y = x^3+2*x^2-9*x-18
Решение
Вы ввели
[src]
3 2 f(x) = x + 2*x - 9*x - 18
$$f{\left(x \right)} = x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18$$
f = x^3 + 2*x^2 - 9*x - 1*18
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -2$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = -2$$
$$x_{3} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{3} = -2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} + 4 x - 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}$$
Зн. экстремумы в точках:
3 2
____ / ____\ / ____\
2 \/ 31 ____ | 2 \/ 31 | | 2 \/ 31 |
(- - + ------, -18 - 3*\/ 31 + |- - + ------| + 2*|- - + ------| + 6)
3 3 \ 3 3 / \ 3 3 / 3 2
____ / ____ \ / ____ \
\/ 31 2 | \/ 31 2| | \/ 31 2| ____
(- ------ - -, -18 + |- ------ - -| + 6 + 2*|- ------ - -| + 3*\/ 31 )
3 3 \ 3 3/ \ 3 3/ Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}\right] \cup \left[- \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{31}}{3} - \frac{2}{3}, - \frac{2}{3} + \frac{\sqrt{31}}{3}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \cdot \left(3 x + 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + 2*x^2 - 9*x - 1*18, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = - x^{3} + 2 x^{2} + 9 x - 18$$
- Нет
$$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = - x^{3} + 2 x^{2} + 9 x - 18$$
- Нет
$$x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 18 = x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График