Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^3-6*x^2+9*x+2
-
-x^2-4*x-3
- (x^2-25)/(x+5)
-
12/x
- Раскрыть скобки в:
- x^3-6*x^2+9*x+2
- Производная:
-
x^3-6*x^2+9*x+2
-
Идентичные выражения
- x^ три - шесть *x^ два + девять *x+ два
- x в кубе минус 6 умножить на x в квадрате плюс 9 умножить на x плюс 2
- x в степени три минус шесть умножить на x в степени два плюс девять умножить на x плюс два
- x3-6*x2+9*x+2
- x³-6*x²+9*x+2
- x в степени 3-6*x в степени 2+9*x+2
- x^3-6x^2+9x+2
- x3-6x2+9x+2
-
Похожие выражения
- x^3+6*x^2+9*x+2
- x^3-6*x^2-9*x+2
- x^3-6*x^2+9*x-2
График функции y = x^3-6*x^2+9*x+2
Решение
Вы ввели
[src]
3 2 f(x) = x - 6*x + 9*x + 2
$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$$
f = x^3 - 6*x^2 + 9*x + 2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.195823345445647$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{3} + 54}} + 2$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.195823345445647$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 6)
(3, 2)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, 3\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$6 \left(x - 2\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 2\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 6*x^2 + 9*x + 2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 = - x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 2$$
- Нет
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 = - x^{3} - 6 x^{2} - 9 x + 2$$
- Нет
$$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2 = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x - 2$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График