Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- |x-3|
-
(-x)*e^(-1/x^2)
-
2*x^4-4*x^2+1
- x^4-4/3*x^3-4*x^2+26/3
-
Идентичные выражения
- x^ три /((x^ три)- двадцать семь)
- x в кубе делить на ((x в кубе ) минус 27)
- x в степени три делить на ((x в степени три) минус двадцать семь)
- x3/((x3)-27)
- x3/x3-27
- x³/((x³)-27)
- x в степени 3/((x в степени 3)-27)
- x^3/x^3-27
- x^3 разделить на ((x^3)-27)
-
Похожие выражения
- x^3/((x^3)+27)
График функции y = x^3/((x^3)-27)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = -------
3
x - 27
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{x^{3} - 27}$$
f = x^3/(x^3 - 1*27)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.70659421649235 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -0.000311414776389645$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6.70659421649235 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{3} = -0.000311414776389645$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{5}}{\left(x^{3} - 27\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{5}}{\left(x^{3} - 27\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Убывает на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} - 1\right)}{x^{3} - 27} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right)}{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} - 1\right)}{x^{3} - 27} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right)}{x^{3} - 27}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} - 1\right)}{x^{3} - 27} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right)}{x^{3} - 27}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} - 1\right)}{x^{3} - 27} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right)}{x^{3} - 27} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 3$$
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} - 1\right)}{x^{3} - 27} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right)}{x^{3} - 27}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{6 x \left(\frac{x^{3} \cdot \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} - 1\right)}{x^{3} - 27} - \frac{3 x^{3}}{x^{3} - 27} + 1\right)}{x^{3} - 27}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 3$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}, 0\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 3$$
$$x_{1} = 3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{x^{3} - 27}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^3 - 1*27), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{3} - 27}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{3} - 27}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{3} - 27}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{3} - 27}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 27} = - \frac{x^{3}}{- x^{3} - 27}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 27} = \frac{x^{3}}{- x^{3} - 27}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 27} = - \frac{x^{3}}{- x^{3} - 27}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{x^{3} - 27} = \frac{x^{3}}{- x^{3} - 27}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График