Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- x+9/x
- (6-4*x)*cos(x)+4*sin(x)+14
-
cos(2*x+45)
-
x^3-x^2
- Производная:
-
(x^3)/(8-x^2)
-
Идентичные выражения
- (x^ три)/(восемь -x^ два)
- (x в кубе ) делить на (8 минус x в квадрате )
- (x в степени три) делить на (восемь минус x в степени два)
- (x3)/(8-x2)
- x3/8-x2
- (x³)/(8-x²)
- (x в степени 3)/(8-x в степени 2)
- x^3/8-x^2
- (x^3) разделить на (8-x^2)
-
Похожие выражения
- (x^3)/(8+x^2)
График функции y = (x^3)/(8-x^2)
Решение
Вы ввели
[src]
3
x
f(x) = ------
2
8 - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}$$
f = x^3/(8 - x^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.8479800292793 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -0.00010109438454639$$
$$x_{3} = 9.12708736505754 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 0.000186054835611131$$
$$x_{5} = 8.83209357582068 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 6.37238719356583 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 8.29656183159225 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 5.95900151290599 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 8.55583577050796 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -5.69741268287072 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 5.83295197954001 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 8.05273387873115 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 7.40112536014368 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -7.79520839110282 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -0.000184408193530242$$
$$x_{17} = 0.000109652171797513$$
$$x_{18} = -8.79657491327665 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 6.52334049156461 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 0.000114277493883427$$
$$x_{21} = 0.000105394331079206$$
$$x_{22} = 0.000145118326744519$$
$$x_{23} = 0.000130921362532606$$
$$x_{24} = -0.000130128589524666$$
$$x_{25} = -0.00010488572676963$$
$$x_{26} = -0.000144137982970557$$
$$x_{27} = -6.35401178054446 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -7.18342770177834 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -0.000109100794814611$$
$$x_{30} = 7.20697529167267 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -8.52253117338474 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = -6.07388355185269 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = 7.02284797401575 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 0.000173690118910857$$
$$x_{35} = 7.82299618767574 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -6.82673759775308 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = -9.08912264418267 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 0.000124844582442529$$
$$x_{39} = -5.81757228119321 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = -6.66146850017579 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -0.000100990378741494$$
$$x_{42} = 9.44282269188909 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = -0.000152389400468243$$
$$x_{44} = 6.09066055816215 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = -0.000113677577356091$$
$$x_{46} = -9.40214580866096 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = -7.000497891821 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = 0.000101461084963842$$
$$x_{49} = -4.93797526910459 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 0.00011932126656263$$
$$x_{51} = 0.000153490601882742$$
$$x_{52} = -6.50407808132219 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 6.22831499266713 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 0.000200446259424578$$
$$x_{55} = -0.000124125556820712$$
$$x_{56} = 5.71215869868683 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = -9.73791093113153 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = -0.000136763122178936$$
$$x_{59} = -6.21076625272373 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = 0.000137641996613154$$
$$x_{61} = -0.000172265014741417$$
$$x_{62} = -8.02327211250605 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 0.00016293739715586$$
$$x_{64} = 0.000217442792171329$$
$$x_{65} = -7.57989473927776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{66} = 6.68168429818591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{67} = -0.000215150346351968$$
$$x_{68} = -0.000118665933016385$$
$$x_{69} = -0.000198518687161743$$
$$x_{70} = 9.78160679926636 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{71} = -8.26526806800775 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = -0.000161690479931849$$
$$x_{73} = -7.37628031427452 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{74} = 5.59629763480085 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{75} = 7.606148752818 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{76} = -5.94294609419966 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{77} = -5.58214669948368 \cdot 10^{-5}$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 6.8479800292793 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{2} = -0.00010109438454639$$
$$x_{3} = 9.12708736505754 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{4} = 0.000186054835611131$$
$$x_{5} = 8.83209357582068 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{6} = 6.37238719356583 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{7} = 8.29656183159225 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{8} = 5.95900151290599 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{9} = 8.55583577050796 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{10} = -5.69741268287072 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{11} = 5.83295197954001 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{12} = 8.05273387873115 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{13} = 7.40112536014368 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{14} = -7.79520839110282 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{15} = 0$$
$$x_{16} = -0.000184408193530242$$
$$x_{17} = 0.000109652171797513$$
$$x_{18} = -8.79657491327665 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{19} = 6.52334049156461 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{20} = 0.000114277493883427$$
$$x_{21} = 0.000105394331079206$$
$$x_{22} = 0.000145118326744519$$
$$x_{23} = 0.000130921362532606$$
$$x_{24} = -0.000130128589524666$$
$$x_{25} = -0.00010488572676963$$
$$x_{26} = -0.000144137982970557$$
$$x_{27} = -6.35401178054446 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{28} = -7.18342770177834 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{29} = -0.000109100794814611$$
$$x_{30} = 7.20697529167267 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{31} = -8.52253117338474 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{32} = -6.07388355185269 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{33} = 7.02284797401575 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{34} = 0.000173690118910857$$
$$x_{35} = 7.82299618767574 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{36} = -6.82673759775308 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{37} = -9.08912264418267 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{38} = 0.000124844582442529$$
$$x_{39} = -5.81757228119321 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{40} = -6.66146850017579 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{41} = -0.000100990378741494$$
$$x_{42} = 9.44282269188909 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{43} = -0.000152389400468243$$
$$x_{44} = 6.09066055816215 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{45} = -0.000113677577356091$$
$$x_{46} = -9.40214580866096 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{47} = -7.000497891821 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{48} = 0.000101461084963842$$
$$x_{49} = -4.93797526910459 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{50} = 0.00011932126656263$$
$$x_{51} = 0.000153490601882742$$
$$x_{52} = -6.50407808132219 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{53} = 6.22831499266713 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{54} = 0.000200446259424578$$
$$x_{55} = -0.000124125556820712$$
$$x_{56} = 5.71215869868683 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{57} = -9.73791093113153 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{58} = -0.000136763122178936$$
$$x_{59} = -6.21076625272373 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{60} = 0.000137641996613154$$
$$x_{61} = -0.000172265014741417$$
$$x_{62} = -8.02327211250605 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{63} = 0.00016293739715586$$
$$x_{64} = 0.000217442792171329$$
$$x_{65} = -7.57989473927776 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{66} = 6.68168429818591 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{67} = -0.000215150346351968$$
$$x_{68} = -0.000118665933016385$$
$$x_{69} = -0.000198518687161743$$
$$x_{70} = 9.78160679926636 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{71} = -8.26526806800775 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{72} = -0.000161690479931849$$
$$x_{73} = -7.37628031427452 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{74} = 5.59629763480085 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{75} = 7.606148752818 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{76} = -5.94294609419966 \cdot 10^{-5}$$
$$x_{77} = -5.58214669948368 \cdot 10^{-5}$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x^{4}}{\left(- x^{2} + 8\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{- x^{2} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \sqrt{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[2 \sqrt{6}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x^{4}}{\left(- x^{2} + 8\right)^{2}} + \frac{3 x^{2}}{- x^{2} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{3} = 2 \sqrt{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
___ ___ (-2*\/ 6, 3*\/ 6 )
___ ___ (2*\/ 6, -3*\/ 6 )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2 \sqrt{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[2 \sqrt{6}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = 2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = 2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = -2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = -2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = 2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = 2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^-}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = -2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^+}\left(\frac{2 x \left(- \frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)}{x^{2} - 8} + \frac{6 x^{2}}{x^{2} - 8} - 3\right)}{x^{2} - 8}\right) = -2.58359429617981 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(8 - x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 8}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 8}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 8}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = - x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{- x^{2} + 8}\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = - x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8} = - \frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8} = \frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8} = - \frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{- x^{2} + 8} = \frac{x^{3}}{- x^{2} + 8}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График