Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^3/(4*(2-x)^2)

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • (2*x^2+x+677)/(x-5) (2*x^2+x+677)/(x-5)
  • (x^2+15)/(x+4)
  • 10-3*x-x^2
  • sqrt(12+x^2-4*x)/(x+1)
  • Производная:
  • x^3/(4*(2-x)^2) x^3/(4*(2-x)^2)

  • Идентичные выражения

  • x^ три /(четыре *(два -x)^ два)
  • x в кубе делить на (4 умножить на (2 минус x) в квадрате )
  • x в степени три делить на (четыре умножить на (два минус x) в степени два)
  • x3/(4*(2-x)2)
  • x3/4*2-x2
  • x³/(4*(2-x)²)
  • x в степени 3/(4*(2-x) в степени 2)
  • x^3/(4(2-x)^2)
  • x3/(4(2-x)2)
  • x3/42-x2
  • x^3/42-x^2
  • x^3 разделить на (4*(2-x)^2)

  • Похожие выражения

  • x^3/(4*(2+x)^2)
Построение графика функции/ x^3/(4*(2-x)^2)

График функции y = x^3/(4*(2-x)^2)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
            3    
           x     
f(x) = ----------
                2
       4*(2 - x)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3}}{4 \left(- x + 2\right)^{2}}$$ 
f = x^3/((4*(2 - x)^2))
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{3}}{4 \left(- x + 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -0.000260183619282883$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = -0.000189375804103907$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/((4*(2 - x)^2)).
$$\frac{0^{3}}{4 \left(\left(-1\right) 0 + 2\right)^{2}}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$3 x^{2} \cdot \frac{1}{4 \left(- x + 2\right)^{2}} + \frac{x^{3} \cdot \left(- 8 x + 16\right)}{16 \left(- x + 2\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

(6, 27/8)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 6$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[6, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 6\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{2 \left(x - 2\right)^{2}} - \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 2$$

$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{2 \left(x - 2\right)^{2}} - \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{3 x \left(\frac{x^{2}}{2 \left(x - 2\right)^{2}} - \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{2}\right)}{\left(x - 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3}}{4 \left(- x + 2\right)^{2}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3}}{4 \left(- x + 2\right)^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/((4*(2 - x)^2)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \cdot \frac{1}{4 \left(- x + 2\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \cdot \frac{1}{4 \left(- x + 2\right)^{2}}\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{4}$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{3}}{4 \left(- x + 2\right)^{2}} = - \frac{x^{3}}{4 \left(x + 2\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x^{3}}{4 \left(- x + 2\right)^{2}} = \frac{x^{3}}{4 \left(x + 2\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^3/(4*(2-x)^2)
    © Господин Экзамен – Калькулятор