Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^5-15*x^3
-
(x^3-12*x)
-
x^2+4*x-12
-
2/(x-1)
- Производная:
-
x^5-15*x^3
-
Идентичные выражения
- x^ пять - пятнадцать *x^ три
- x в степени 5 минус 15 умножить на x в кубе
- x в степени пять минус пятнадцать умножить на x в степени три
- x5-15*x3
- x⁵-15*x³
- x в степени 5-15*x в степени 3
- x^5-15x^3
- x5-15x3
-
Похожие выражения
- x^5+15*x^3
График функции y = x^5-15*x^3
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 15 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{15}$$
$$x_{3} = \sqrt{15}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.87298334620742$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3.87298334620742$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{5} - 15 x^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{15}$$
$$x_{3} = \sqrt{15}$$
Численное решение
$$x_{1} = -3.87298334620742$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3.87298334620742$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 45 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$5 x^{4} - 45 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 3$$
Зн. экстремумы в точках:
(-3, 162)
(0, 0)
(3, -162)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -3$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -3\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-3, 3\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$10 x \left(2 x^{2} - 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$10 x \left(2 x^{2} - 9\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{2}}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{2}}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 15 x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 15 x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{5} - 15 x^{3}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{5} - 15 x^{3}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^5 - 15*x^3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - 15 x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - 15 x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{5} - 15 x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{5} - 15 x^{3}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 15 x^{3} = - x^{5} + 15 x^{3}$$
- Нет
$$x^{5} - 15 x^{3} = x^{5} - 15 x^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{5} - 15 x^{3} = - x^{5} + 15 x^{3}$$
- Нет
$$x^{5} - 15 x^{3} = x^{5} - 15 x^{3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График