Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^2*(x-1)^2

  • Как пользоваться?

  • График функции y =:
  • log(x)^(2)
  • x^2*(log(x)) x^2*(log(x))
  • (x-1)/(sqrt(x))
  • sqrt(x-x^2) sqrt(x-x^2)
  • Производная:
  • x^2*(x-1)^2 x^2*(x-1)^2

  • Идентичные выражения

  • x^ два *(x- один)^ два
  • x в квадрате умножить на (x минус 1) в квадрате
  • x в степени два умножить на (x минус один) в степени два
  • x2*(x-1)2
  • x2*x-12
  • x²*(x-1)²
  • x в степени 2*(x-1) в степени 2
  • x^2(x-1)^2
  • x2(x-1)2
  • x2x-12
  • x^2x-1^2

  • Похожие выражения

  • x^2*(x+1)^2
Построение графика функции/ x^2*(x-1)^2

График функции y = x^2*(x-1)^2

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
        2        2
f(x) = x *(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(x - 1\right)^{2}$$ 
f = x^2*(x - 1*1)^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2*(x - 1*1)^2.
$$0^{2} \left(\left(-1\right) 1 + 0\right)^{2}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cdot \left(2 x - 2\right) + 2 x \left(x - 1\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)

                2 
      (-1 + 1/2)  
(1/2, -----------)
           4      

            2 
(1, (-1 + 1) )


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = \frac{1}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, \frac{1}{2}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{1}{2}, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2 \left(x^{2} + 4 x \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{1}{2}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(x - 1*1)^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = x^{2} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
$$x^{2} \left(x - 1\right)^{2} = - x^{2} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = x^2*(x-1)^2
    © Господин Экзамен – Калькулятор