Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
-
Идентичные выражения
- x^ два *(два *x-x^ три)
- x в квадрате умножить на (2 умножить на x минус x в кубе )
- x в степени два умножить на (два умножить на x минус x в степени три)
- x2*(2*x-x3)
- x2*2*x-x3
- x²*(2*x-x³)
- x в степени 2*(2*x-x в степени 3)
- x^2(2x-x^3)
- x2(2x-x3)
- x22x-x3
- x^22x-x^3
-
Похожие выражения
- x^2*(2*x+x^3)
График функции y = x^2*(2*x-x^3)
Решение
Вы ввели
[src]
2 / 3\ f(x) = x *\2*x - x /
$$f{\left(x \right)} = x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)$$
f = x^2*(-x^3 + 2*x)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$x_{3} = -1.4142135623731$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{2}$$
$$x_{3} = \sqrt{2}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1.4142135623731$$
$$x_{3} = -1.4142135623731$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cdot \left(- 3 x^{2} + 2\right) + 2 x \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{5}, \frac{\sqrt{30}}{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{2} \cdot \left(- 3 x^{2} + 2\right) + 2 x \left(- x^{3} + 2 x\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
____ ____
-\/ 30 -24*\/ 30
(--------, -----------)
5 125 ____ ____ \/ 30 24*\/ 30 (------, ---------) 5 125
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{30}}{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{5}, \frac{\sqrt{30}}{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{5}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 x \left(- 5 x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 x \left(- 5 x^{2} + 3\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2*(2*x - x^3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(- x^{3} + 2 x\right)\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- Нет
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = - x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- Нет
$$x^{2} \left(- x^{3} + 2 x\right) = - x^{2} \left(x^{3} - 2 x\right)$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График