Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
- x^3-12*x^2+36*x
- (|x-2|)-(|x+1|)+x-2
-
Идентичные выражения
- (x^ два +x)/(x- пять)
- (x в квадрате плюс x) делить на (x минус 5)
- (x в степени два плюс x) делить на (x минус пять)
- (x2+x)/(x-5)
- x2+x/x-5
- (x²+x)/(x-5)
- (x в степени 2+x)/(x-5)
- x^2+x/x-5
- (x^2+x) разделить на (x-5)
-
Похожие выражения
- (x^2-x)/(x-5)
- (x^2+x)/(x+5)
График функции y = (x^2+x)/(x-5)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x + x
f(x) = ------
x - 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + x}{x - 5}$$
f = (x^2 + x)/(x - 1*5)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{1} = 5$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x + 1}{x - 5} - \frac{x^{2} + x}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{30} + 5$$
$$x_{2} = 5 + \sqrt{30}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5 + \sqrt{30}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{30} + 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{30} + 5\right] \cup \left[5 + \sqrt{30}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{30} + 5, 5 + \sqrt{30}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x + 1}{x - 5} - \frac{x^{2} + x}{\left(x - 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{30} + 5$$
$$x_{2} = 5 + \sqrt{30}$$
Зн. экстремумы в точках:
2
____ / ____ \
____ - \/ 30 + \- \/ 30 + 5/ + 5
(- \/ 30 + 5, ------------------------------)
____
- \/ 30 - 5 + 5 2
____ / ____\
____ 5 + \/ 30 + \5 + \/ 30 /
(5 + \/ 30, --------------------------)
____
-5 + 5 + \/ 30 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5 + \sqrt{30}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{30} + 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{30} + 5\right] \cup \left[5 + \sqrt{30}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{30} + 5, 5 + \sqrt{30}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 5}\right)}{x - 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2}} + 1 - \frac{2 x + 1}{x - 5}\right)}{x - 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 5$$
$$x_{1} = 5$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 5}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 5}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 5}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x - 5}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 + x)/(x - 1*5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x \left(x - 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x \left(x - 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x \left(x - 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + x}{x \left(x - 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 5} = \frac{x^{2} - x}{- x - 5}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + x}{x - 5} = - \frac{x^{2} - x}{- x - 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} + x}{x - 5} = \frac{x^{2} - x}{- x - 5}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} + x}{x - 5} = - \frac{x^{2} - x}{- x - 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График