Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(9-6*x-3*x^2)/(x^2-2*x+13)
-
(sqrt(3-x))/x^2-25
-
x^3+9*x^2+24*x+18
-
x/(x^2-6*x-16)
- Производная:
-
(x^2-1)/(x+5)
-
Идентичные выражения
- (x^ два - один)/(x+ пять)
- (x в квадрате минус 1) делить на (x плюс 5)
- (x в степени два минус один) делить на (x плюс пять)
- (x2-1)/(x+5)
- x2-1/x+5
- (x²-1)/(x+5)
- (x в степени 2-1)/(x+5)
- x^2-1/x+5
- (x^2-1) разделить на (x+5)
-
Похожие выражения
- (x^2+1)/(x+5)
- (x^2-1)/(x-5)
График функции y = (x^2-1)/(x+5)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 1
f(x) = ------
x + 5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 1}{x + 5}$$
f = (x^2 - 1*1)/(x + 5)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{1} = -5$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{x + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 1}{x + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x + 5} - \frac{x^{2} - 1}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -5 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = -5 + 2 \sqrt{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5 + 2 \sqrt{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5 - 2 \sqrt{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -5 - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[-5 + 2 \sqrt{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-5 - 2 \sqrt{6}, -5 + 2 \sqrt{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x + 5} - \frac{x^{2} - 1}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -5 - 2 \sqrt{6}$$
$$x_{2} = -5 + 2 \sqrt{6}$$
Зн. экстремумы в точках:
/ 2\
___ | / ___\ |
___ -\/ 6 *\-1 + \-5 - 2*\/ 6 / /
(-5 - 2*\/ 6, ------------------------------)
12 / 2\
___ | / ___\ |
___ \/ 6 *\-1 + \-5 + 2*\/ 6 / /
(-5 + 2*\/ 6, ----------------------------)
12 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5 + 2 \sqrt{6}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -5 - 2 \sqrt{6}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -5 - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[-5 + 2 \sqrt{6}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-5 - 2 \sqrt{6}, -5 + 2 \sqrt{6}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 5} + 1 + \frac{x^{2} - 1}{\left(x + 5\right)^{2}}\right)}{x + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x}{x + 5} + 1 + \frac{x^{2} - 1}{\left(x + 5\right)^{2}}\right)}{x + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -5$$
$$x_{1} = -5$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x + 5}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x + 5}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x + 5}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x + 5}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*1)/(x + 5), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x + 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x + 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x + 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 1}{x \left(x + 5\right)}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{x + 5} = \frac{x^{2} - 1}{- x + 5}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 1}{x + 5} = - \frac{x^{2} - 1}{- x + 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 1}{x + 5} = \frac{x^{2} - 1}{- x + 5}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 1}{x + 5} = - \frac{x^{2} - 1}{- x + 5}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График