Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
-
Идентичные выражения
- (x^ два - девять)/(x^ два - два *x)
- (x в квадрате минус 9) делить на (x в квадрате минус 2 умножить на x)
- (x в степени два минус девять) делить на (x в степени два минус два умножить на x)
- (x2-9)/(x2-2*x)
- x2-9/x2-2*x
- (x²-9)/(x²-2*x)
- (x в степени 2-9)/(x в степени 2-2*x)
- (x^2-9)/(x^2-2x)
- (x2-9)/(x2-2x)
- x2-9/x2-2x
- x^2-9/x^2-2x
- (x^2-9) разделить на (x^2-2*x)
-
Похожие выражения
- (x^2-9)/(x^2+2*x)
- (x^2+9)/(x^2-2*x)
График функции y = (x^2-9)/(x^2-2*x)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x - 9
f(x) = --------
2
x - 2*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x}$$
f = (x^2 - 1*9)/(x^2 - 2*x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 2 x} + \frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}, \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 2 x} + \frac{\left(- 2 x + 2\right) \left(x^{2} - 9\right)}{\left(x^{2} - 2 x\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
2
/ ___ \
| 3*\/ 5 9|
___ -9 + |- ------- + -|
3*\/ 5 9 \ 2 2/
(- ------- + -, -------------------------------)
2 2 2
/ ___ \
| 3*\/ 5 9| ___
-9 + |- ------- + -| + 3*\/ 5
\ 2 2/ 2
/ ___ \
|3*\/ 5 9|
___ -9 + |------- + -|
3*\/ 5 9 \ 2 2/
(------- + -, -----------------------------)
2 2 2
/ ___ \
___ |3*\/ 5 9|
-9 - 3*\/ 5 + |------- + -|
\ 2 2/ Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}, \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{9}{2}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} + \frac{9}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} + \frac{9}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} + \frac{9}{2}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} + \frac{9}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)}{x - 2} - \frac{\left(1 - \frac{4 \left(x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 2\right)}\right) \left(x^{2} - 9\right)}{x \left(x - 2\right)}\right)}{x \left(x - 2\right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 2$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} + \frac{9}{2}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{15^{\frac{2}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot \sqrt[3]{15}}{2} + \frac{9}{2}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x^2 - 1*9)/(x^2 - 2*x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - 9}{x \left(x^{2} - 2 x\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} = - \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} = \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x}$$
- Нет
$$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 2 x} = - \frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 2 x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График