Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 6*x^2-x^4/9
-
3/log(2,|x+1|)
-
cos(y)+1
-
x+2*sqrt(x)
- Производная:
-
x^2/(x-1)
- Интеграл d{x}:
- x^2/(x-1)
-
Идентичные выражения
- x^ два /(x- один)
- x в квадрате делить на (x минус 1)
- x в степени два делить на (x минус один)
- x2/(x-1)
- x2/x-1
- x²/(x-1)
- x в степени 2/(x-1)
- x^2/x-1
- x^2 разделить на (x-1)
-
Похожие выражения
- (x^2)/(x-1)^2
- (20*x^2)/(x-1)^3
- (x^3+2*x^2)/(x-1)^2
- x^2/(x+1)
-
Что Вы имели ввиду?
- x^2/(x - 1*1)
- x^2/x - 1*1
- x*2/(x - 1*1)
- x*2/x - 1*1
- x^2/(x - 1*1)
- x^2/x - 1*1
- x^2/x - 1*1
Вы ввели:
x^2/(x-1)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^2/(x-1)
Решение
Вы ввели
[src]
2
x
f(x) = -----
x - 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{x - 1}$$
f = x^2/(x - 1*1)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
4
(2, ------)
-1 + 2 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 1} + 1\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{\left(x - 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x - 1} + 1\right)}{x - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{1} = 1$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 1}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x - 1}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(x - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x - 1}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{x - 1} = - \frac{x^{2}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{x - 1} = \frac{x^{2}}{- x - 1}$$
- Нет
$$\frac{x^{2}}{x - 1} = - \frac{x^{2}}{- x - 1}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График