Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
x^2*(log(x))
-
sqrt(x-x^2)
-
16*x^3-8*x^2+1
- 3*x-6*sin(x)
- Предел функции:
-
x^(2/x)
-
Идентичные выражения
- x^(два /x)
- x в степени (2 делить на x)
- x в степени (два делить на x)
- x(2/x)
- x2/x
- x^2/x
- x^(2 разделить на x)
-
Похожие выражения
- 3*x^2/(x^2+1)
- (3+2*x+x^2)/(x+2)
- (x^3+x^2)/(x-2)
- (-x^2)/(x+2)^2
- (5*x^2)/(x^2-25)
График функции y = x^(2/x)
Решение
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{\frac{2}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$x^{\frac{2}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{\frac{2}{x}} \left(- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{\frac{2}{x}} \left(- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = e$$
Зн. экстремумы в точках:
-1
2*e
(e, e )Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = e$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, e\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[e, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x^{\frac{2}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 31369.2765916603$$
$$x_{2} = 47914.2545210909$$
$$x_{3} = 49011.0930808379$$
$$x_{4} = 39113.1514159247$$
$$x_{5} = 42419.2925503573$$
$$x_{6} = 34693.3707640846$$
$$x_{7} = 38009.4811711682$$
$$x_{8} = 45718.4677566567$$
$$x_{9} = 4.27228101292984$$
$$x_{10} = 54485.2859178171$$
$$x_{11} = 40215.9991395355$$
$$x_{12} = 43519.77052935$$
$$x_{13} = 46816.7175345291$$
$$x_{14} = 36904.9719115146$$
$$x_{15} = 51202.7304972872$$
$$x_{16} = 53391.7371751486$$
$$x_{17} = 33586.2467954714$$
$$x_{18} = 41318.0407641662$$
$$x_{19} = 44619.4904528819$$
$$x_{20} = 56670.534904092$$
$$x_{21} = 35799.6071903786$$
$$x_{22} = 52297.5562004883$$
$$x_{23} = 32478.220119734$$
$$x_{24} = 55578.2145655742$$
$$x_{25} = 50107.2472024841$$
$$x_{26} = 30259.4035400203$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{\frac{2}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{\frac{2}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4.27228101292984, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4.27228101292984\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x^{\frac{2}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 31369.2765916603$$
$$x_{2} = 47914.2545210909$$
$$x_{3} = 49011.0930808379$$
$$x_{4} = 39113.1514159247$$
$$x_{5} = 42419.2925503573$$
$$x_{6} = 34693.3707640846$$
$$x_{7} = 38009.4811711682$$
$$x_{8} = 45718.4677566567$$
$$x_{9} = 4.27228101292984$$
$$x_{10} = 54485.2859178171$$
$$x_{11} = 40215.9991395355$$
$$x_{12} = 43519.77052935$$
$$x_{13} = 46816.7175345291$$
$$x_{14} = 36904.9719115146$$
$$x_{15} = 51202.7304972872$$
$$x_{16} = 53391.7371751486$$
$$x_{17} = 33586.2467954714$$
$$x_{18} = 41318.0407641662$$
$$x_{19} = 44619.4904528819$$
$$x_{20} = 56670.534904092$$
$$x_{21} = 35799.6071903786$$
$$x_{22} = 52297.5562004883$$
$$x_{23} = 32478.220119734$$
$$x_{24} = 55578.2145655742$$
$$x_{25} = 50107.2472024841$$
$$x_{26} = 30259.4035400203$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 x^{\frac{2}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 x^{\frac{2}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x} - 3\right)}{x^{3}}\right) = 0$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4.27228101292984, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4.27228101292984\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{2}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{2}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{2}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{2}{x}} = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^(2/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{2}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{2}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{2}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{2}{x}}}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{\frac{2}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{2}{x}}$$
- Нет
$$x^{\frac{2}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{2}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{\frac{2}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{2}{x}}$$
- Нет
$$x^{\frac{2}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{2}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График