Господин Экзамен

Другие калькуляторы

x^2/(5+x^2)
Построение графика функции/ x^2/(5+x^2)

Вы ввели:

x^2/(5+x^2)

Что Вы имели ввиду?

x^2/(5 + x^2)
 
x^2*2/(5 + x)
 
x^2/((5 + x)^2)
 
x^2/5 + x^2
 
x*2/(5 + x^2)
 
x*2*2/(5 + x)
 
x^2/5 + x^2

График функции y = x^2/(5+x^2)

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src] 
          2  
         x   
f(x) = ------
            2
       5 + x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$$ 
f = x^2/(x^2 + 5)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^2/(5 + x^2).
$$\frac{0^{2}}{0^{2} + 5}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Точка:
(0, 0)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{3}}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\frac{x^{2} \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 5} - 1\right)}{x^{2} + 5} - \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 5} + 1\right)}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 5}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 1$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/(5 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$$
- Да
$$\frac{x^{2}}{x^{2} + 5} = - \frac{x^{2}}{x^{2} + 5}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График
График функции y = x^2/(5+x^2)
    © Господин Экзамен – Калькулятор