Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
sqrt(x^2+1)
-
x^4-8*x^3+16*x^2
-
x^3+27
-
x/(sin(x))
-
Идентичные выражения
- x^ четыре - восемь *x^ три + шестнадцать *x^ два
- x в степени 4 минус 8 умножить на x в кубе плюс 16 умножить на x в квадрате
- x в степени четыре минус восемь умножить на x в степени три плюс шестнадцать умножить на x в степени два
- x4-8*x3+16*x2
- x⁴-8*x³+16*x²
- x в степени 4-8*x в степени 3+16*x в степени 2
- x^4-8x^3+16x^2
- x4-8x3+16x2
-
Похожие выражения
- x^4+8*x^3+16*x^2
- (x^4)-(8*x^3)+(16*x^2)+3
- x^4-8*x^3-16*x^2
График функции y = x^4-8*x^3+16*x^2
Решение
Вы ввели
[src]
4 3 2 f(x) = x - 8*x + 16*x
$$f{\left(x \right)} = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}$$
f = x^4 - 8*x^3 + 16*x^2
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
значит надо решить уравнение:
$$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 x^{3} - 24 x^{2} + 32 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 4$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 0)
(2, 16)
(4, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 4$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 2$$
Убывает на промежутках
$$\left[0, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, 4\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 x^{2} - 12 x + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(3 x^{2} - 12 x + 8\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
$$x_{2} = \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2, \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4 - 8*x^3 + 16*x^2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2}$$
- Нет
$$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = - x^{4} - 8 x^{3} - 16 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = x^{4} + 8 x^{3} + 16 x^{2}$$
- Нет
$$x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} = - x^{4} - 8 x^{3} - 16 x^{2}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График