Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
-
Идентичные выражения
- ((x^ четыре)/ пять)- два *(x^ два)+ пять
- ((x в степени 4) делить на 5) минус 2 умножить на (x в квадрате ) плюс 5
- ((x в степени четыре) делить на пять) минус два умножить на (x в степени два) плюс пять
- ((x4)/5)-2*(x2)+5
- x4/5-2*x2+5
- ((x⁴)/5)-2*(x²)+5
- ((x в степени 4)/5)-2*(x в степени 2)+5
- ((x^4)/5)-2(x^2)+5
- ((x4)/5)-2(x2)+5
- x4/5-2x2+5
- x^4/5-2x^2+5
- ((x^4) разделить на 5)-2*(x^2)+5
-
Похожие выражения
- ((x^4)/5)+2*(x^2)+5
- ((x^4)/5)-2*(x^2)-5
График функции y = ((x^4)/5)-2*(x^2)+5
Решение
Вы ввели
[src]
4
x 2
f(x) = -- - 2*x + 5
5
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5$$
f = x^4/5 - 2*x^2 + 5
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.23606797749979$$
$$x_{2} = 2.23606797749979$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.23606797749979$$
$$x_{2} = 2.23606797749979$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{4 x^{3}}{5} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{5}, 0\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \sqrt{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{4 x^{3}}{5} - 4 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{5}$$
$$x_{3} = \sqrt{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
(0, 5)
___ (-\/ 5, 0)
___ (\/ 5, 0)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{5}, 0\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[0, \sqrt{5}\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(\frac{3 x^{2}}{5} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$4 \cdot \left(\frac{3 x^{2}}{5} - 1\right) = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{15}}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{\sqrt{15}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/5 - 2*x^2 + 5, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5 = \frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5$$
- Да
$$\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5 = - \frac{x^{4}}{5} + 2 x^{2} - 5$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5 = \frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5$$
- Да
$$\frac{x^{4}}{5} - 2 x^{2} + 5 = - \frac{x^{4}}{5} + 2 x^{2} - 5$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График