Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
1-1/x
-
x^4/4+x^3/3-x^2+18
-
2*x^3+3*x^2-12*x+7
-
x*sqrt(9-x^2)
- Производная:
-
x^4/4+x^3/3-x^2+18
-
Идентичные выражения
- x^ четыре / четыре +x^ три / три -x^ два + восемнадцать
- x в степени 4 делить на 4 плюс x в кубе делить на 3 минус x в квадрате плюс 18
- x в степени четыре делить на четыре плюс x в степени три делить на три минус x в степени два плюс восемнадцать
- x4/4+x3/3-x2+18
- x⁴/4+x³/3-x²+18
- x в степени 4/4+x в степени 3/3-x в степени 2+18
- x^4 разделить на 4+x^3 разделить на 3-x^2+18
-
Похожие выражения
- x^4/4+x^3/3+x^2+18
- x^4/4+x^3/3-x^2-18
- x^4/4-x^3/3-x^2+18
-
Что Вы имели ввиду?
- x^4/4 + x^3/3 - x^2 + 18
- x^1 + x^1 - x^2 + 18
- x^((1 + x)^((1 - x)^2)) + 18
- x^((4/(4 + x))^((3/(3 - x))^2)) + 18
- x^((4/(4 + x))^((1 - x)^2)) + 18
- x^((1 + x)^((3/(3 - x))^2)) + 18
- x^((1 + x)^((3/(3 - x))^2)) + 18
Вы ввели:
x^4/4+x^3/3-x^2+18
Что Вы имели ввиду?
График функции y = x^4/4+x^3/3-x^2+18
Решение
Вы ввели
[src]
4 3
x x 2
f(x) = -- + -- - x + 18
4 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18$$
f = x^4/4 + x^3/3 - x^2 + 18
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18 = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-2, 46/3)
(0, 18)
211
(1, ---)
12 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Убывает на промежутках
$$\left[-2, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$3 x^{2} + 2 x - 2 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}\right] \cup \left[- \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{1}{3}, - \frac{1}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^4/4 + x^3/3 - x^2 + 18, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18 = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18 = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 18$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18 = \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18$$
- Нет
$$\frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 18 = - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - 18$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График