Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$\frac{x^{2} \operatorname{sign}{\left(x^{2} - 4 \right)}}{\sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|}} + \sqrt{\left|{x^{2} - 4}\right|} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
$$x_{2} = -1.4142135623731$$
Зн. экстремумы в точках:
(1.4142135623731, 2)
(-1.4142135623731, -2)
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1.4142135623731$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1.4142135623731$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1.4142135623731, 1.4142135623731\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1.4142135623731\right] \cup \left[1.4142135623731, \infty\right)$$