Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 1/4
-
x/e^(x)
- sqrt(2*x-1)
- 6+27*x-3*x^3
- Интеграл d{x}:
-
x*e^((-x^2)/2)
-
Идентичные выражения
- x*e^((-x^ два)/ два)
- x умножить на e в степени (( минус x в квадрате ) делить на 2)
- x умножить на e в степени (( минус x в степени два) делить на два)
- x*e((-x2)/2)
- x*e-x2/2
- x*e^((-x²)/2)
- x*e в степени ((-x в степени 2)/2)
- xe^((-x^2)/2)
- xe((-x2)/2)
- xe-x2/2
- xe^-x^2/2
- x*e^((-x^2) разделить на 2)
-
Похожие выражения
- 2*x*e^(-x^2/2)
- x*e^((x^2)/2)
- 2*x*e^-x^2/2
- 2*x*e^-(x^(2)/2)
График функции y = x*e^((-x^2)/2)
Решение
Вы ввели
[src]
2
-x
----
2
f(x) = x*e
$$f{\left(x \right)} = x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$$
f = x*E^(-x^2/2)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -80.2451271074651$$
$$x_{2} = -76.2579924560991$$
$$x_{3} = 32.8752332341382$$
$$x_{4} = 96.4610108264976$$
$$x_{5} = -10.247960314217$$
$$x_{6} = -58.3377124249816$$
$$x_{7} = 76.5162106782208$$
$$x_{8} = 56.6104161729572$$
$$x_{9} = 21.2345123835376$$
$$x_{10} = -40.4883834667848$$
$$x_{11} = -90.2179499984874$$
$$x_{12} = -28.6943596043799$$
$$x_{13} = 72.5309015703522$$
$$x_{14} = -26.7467597908737$$
$$x_{15} = 80.5029780991381$$
$$x_{16} = 10.4810551180426$$
$$x_{17} = 28.9620890166341$$
$$x_{18} = -78.2513955147154$$
$$x_{19} = 40.7523965392307$$
$$x_{20} = -17.1969684851483$$
$$x_{21} = -15.3593372555059$$
$$x_{22} = -88.2228929179074$$
$$x_{23} = 46.6877762829739$$
$$x_{24} = 92.4701421572582$$
$$x_{25} = -96.2043534607085$$
$$x_{26} = -92.2132213430942$$
$$x_{27} = -13.5703851876112$$
$$x_{28} = 19.3379596244699$$
$$x_{29} = 74.5233591950223$$
$$x_{30} = -62.3160212977879$$
$$x_{31} = -68.2882415884721$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = -52.3764545425553$$
$$x_{34} = -56.3497113142373$$
$$x_{35} = -8.82065718477295$$
$$x_{36} = 82.4968425477036$$
$$x_{37} = 38.7783713446935$$
$$x_{38} = -30.6488081209205$$
$$x_{39} = -64.3061861108853$$
$$x_{40} = -11.8535751456397$$
$$x_{41} = 66.5562459808845$$
$$x_{42} = 90.4750104191475$$
$$x_{43} = -24.8076741592432$$
$$x_{44} = -20.9648808652053$$
$$x_{45} = -32.6088462722306$$
$$x_{46} = 84.4909972102885$$
$$x_{47} = 12.1040591364533$$
$$x_{48} = 86.4854219951314$$
$$x_{49} = -94.2086933283192$$
$$x_{50} = 68.5473054354995$$
$$x_{51} = -19.0686408223086$$
$$x_{52} = 15.6247818795334$$
$$x_{53} = -46.4252005910588$$
$$x_{54} = -60.3265078154327$$
$$x_{55} = -38.5138150497611$$
$$x_{56} = -100.196193168581$$
$$x_{57} = 64.5657397621909$$
$$x_{58} = -70.2800343339193$$
$$x_{59} = -86.228064985273$$
$$x_{60} = -98.2001902620909$$
$$x_{61} = -50.3914159606663$$
$$x_{62} = 54.623627287895$$
$$x_{63} = 50.6531744084895$$
$$x_{64} = 17.465102009593$$
$$x_{65} = 70.5388712182941$$
$$x_{66} = 48.6697660202548$$
$$x_{67} = 58.5981051512238$$
$$x_{68} = 94.4654798903143$$
$$x_{69} = -54.362591820007$$
$$x_{70} = 88.4800986212492$$
$$x_{71} = 7.83657923190551$$
$$x_{72} = 25.0766626196802$$
$$x_{73} = -48.4076116917235$$
$$x_{74} = 78.5094259967043$$
$$x_{75} = 27.0151495573047$$
$$x_{76} = -42.4653421912683$$
$$x_{77} = -34.5735053916839$$
$$x_{78} = 9.02289694337605$$
$$x_{79} = 52.6378406446428$$
$$x_{80} = -22.8793491121891$$
$$x_{81} = 36.8071620516744$$
$$x_{82} = -7.6886044567655$$
$$x_{83} = -82.2391633180928$$
$$x_{84} = 34.8392502079753$$
$$x_{85} = 42.7288452402976$$
$$x_{86} = -74.2649444149412$$
$$x_{87} = 13.8305646213614$$
$$x_{88} = -84.2334824940775$$
$$x_{89} = 62.5758396530863$$
$$x_{90} = 98.4567232107033$$
$$x_{91} = -72.2722807950237$$
$$x_{92} = 60.5866054706585$$
$$x_{93} = 100.45260622169$$
$$x_{94} = 30.9158612891769$$
$$x_{95} = 44.7073945322353$$
$$x_{96} = 23.1487959086869$$
$$x_{97} = -44.4443699549213$$
$$x_{98} = -36.5420283825472$$
$$x_{99} = -66.2969435075443$$
значит надо решить уравнение:
$$x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = -80.2451271074651$$
$$x_{2} = -76.2579924560991$$
$$x_{3} = 32.8752332341382$$
$$x_{4} = 96.4610108264976$$
$$x_{5} = -10.247960314217$$
$$x_{6} = -58.3377124249816$$
$$x_{7} = 76.5162106782208$$
$$x_{8} = 56.6104161729572$$
$$x_{9} = 21.2345123835376$$
$$x_{10} = -40.4883834667848$$
$$x_{11} = -90.2179499984874$$
$$x_{12} = -28.6943596043799$$
$$x_{13} = 72.5309015703522$$
$$x_{14} = -26.7467597908737$$
$$x_{15} = 80.5029780991381$$
$$x_{16} = 10.4810551180426$$
$$x_{17} = 28.9620890166341$$
$$x_{18} = -78.2513955147154$$
$$x_{19} = 40.7523965392307$$
$$x_{20} = -17.1969684851483$$
$$x_{21} = -15.3593372555059$$
$$x_{22} = -88.2228929179074$$
$$x_{23} = 46.6877762829739$$
$$x_{24} = 92.4701421572582$$
$$x_{25} = -96.2043534607085$$
$$x_{26} = -92.2132213430942$$
$$x_{27} = -13.5703851876112$$
$$x_{28} = 19.3379596244699$$
$$x_{29} = 74.5233591950223$$
$$x_{30} = -62.3160212977879$$
$$x_{31} = -68.2882415884721$$
$$x_{32} = 0$$
$$x_{33} = -52.3764545425553$$
$$x_{34} = -56.3497113142373$$
$$x_{35} = -8.82065718477295$$
$$x_{36} = 82.4968425477036$$
$$x_{37} = 38.7783713446935$$
$$x_{38} = -30.6488081209205$$
$$x_{39} = -64.3061861108853$$
$$x_{40} = -11.8535751456397$$
$$x_{41} = 66.5562459808845$$
$$x_{42} = 90.4750104191475$$
$$x_{43} = -24.8076741592432$$
$$x_{44} = -20.9648808652053$$
$$x_{45} = -32.6088462722306$$
$$x_{46} = 84.4909972102885$$
$$x_{47} = 12.1040591364533$$
$$x_{48} = 86.4854219951314$$
$$x_{49} = -94.2086933283192$$
$$x_{50} = 68.5473054354995$$
$$x_{51} = -19.0686408223086$$
$$x_{52} = 15.6247818795334$$
$$x_{53} = -46.4252005910588$$
$$x_{54} = -60.3265078154327$$
$$x_{55} = -38.5138150497611$$
$$x_{56} = -100.196193168581$$
$$x_{57} = 64.5657397621909$$
$$x_{58} = -70.2800343339193$$
$$x_{59} = -86.228064985273$$
$$x_{60} = -98.2001902620909$$
$$x_{61} = -50.3914159606663$$
$$x_{62} = 54.623627287895$$
$$x_{63} = 50.6531744084895$$
$$x_{64} = 17.465102009593$$
$$x_{65} = 70.5388712182941$$
$$x_{66} = 48.6697660202548$$
$$x_{67} = 58.5981051512238$$
$$x_{68} = 94.4654798903143$$
$$x_{69} = -54.362591820007$$
$$x_{70} = 88.4800986212492$$
$$x_{71} = 7.83657923190551$$
$$x_{72} = 25.0766626196802$$
$$x_{73} = -48.4076116917235$$
$$x_{74} = 78.5094259967043$$
$$x_{75} = 27.0151495573047$$
$$x_{76} = -42.4653421912683$$
$$x_{77} = -34.5735053916839$$
$$x_{78} = 9.02289694337605$$
$$x_{79} = 52.6378406446428$$
$$x_{80} = -22.8793491121891$$
$$x_{81} = 36.8071620516744$$
$$x_{82} = -7.6886044567655$$
$$x_{83} = -82.2391633180928$$
$$x_{84} = 34.8392502079753$$
$$x_{85} = 42.7288452402976$$
$$x_{86} = -74.2649444149412$$
$$x_{87} = 13.8305646213614$$
$$x_{88} = -84.2334824940775$$
$$x_{89} = 62.5758396530863$$
$$x_{90} = 98.4567232107033$$
$$x_{91} = -72.2722807950237$$
$$x_{92} = 60.5866054706585$$
$$x_{93} = 100.45260622169$$
$$x_{94} = 30.9158612891769$$
$$x_{95} = 44.7073945322353$$
$$x_{96} = 23.1487959086869$$
$$x_{97} = -44.4443699549213$$
$$x_{98} = -36.5420283825472$$
$$x_{99} = -66.2969435075443$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- x^{2} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} + e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
-1/2 (-1, -e )
-1/2 (1, e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$x \left(x^{2} - 3\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$x \left(x^{2} - 3\right) e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{3}, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \sqrt{3}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*E^(-x^2/2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = - x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$$
- Нет
$$x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = - x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$$
- Нет
$$x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}} = x e^{\frac{\left(-1\right) x^{2}}{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График