График функции y = x*2^(x)-1

Вы ввели [src]

          x    
f(x) = x*2  - 1

$$f{\left(x \right)} = 2^{x} x - 1$$

f = 2^x*x - 1*1

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$2^{x} x - 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = \frac{W\left(\log{\left(2 \right)}\right)}{\log{\left(2 \right)}}$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.641185744504986$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x*2^x - 1*1.
$$\left(-1\right) 1 + 0 \cdot 2^{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Точка:

(0, -1)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$2^{x} x \log{\left(2 \right)} + 2^{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}$$
Зн. экстремумы в точках:

                -1   
  -1           e     
(------, -1 - ------)
 log(2)       log(2)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[- \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{1}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$2^{x} \left(x \log{\left(2 \right)} + 2\right) \log{\left(2 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{\log{\left(2 \right)}}\right]$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} x - 1\right) = -1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} x - 1\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x*2^x - 1*1, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} x - 1}{x}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} x - 1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$2^{x} x - 1 = -1 - 2^{- x} x$$
- Нет
$$2^{x} x - 1 = 1 + 2^{- x} x$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = x*2^(x)-1

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение