Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
cos(x-pi/2)
-
x+3/x-4/x^2
-
x/5-5/x
- 1/2*cos(x/3)
-
Идентичные выражения
- x+ три /x- четыре /x^ два
- x плюс 3 делить на x минус 4 делить на x в квадрате
- x плюс три делить на x минус четыре делить на x в степени два
- x+3/x-4/x2
- x+3/x-4/x²
- x+3/x-4/x в степени 2
- x+3 разделить на x-4 разделить на x^2
-
Похожие выражения
- x-3/x-4/x^2
- x+3/x+4/x^2
График функции y = x+3/x-4/x^2
Решение
Вы ввели
[src]
3 4
f(x) = x + - - --
x 2
x
$$f{\left(x \right)} = x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}$$
f = x - 4/(x^2) + 3/x
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1.00000000000003$$
значит надо решить уравнение:
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 1.00000000000003$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$1 - \frac{3}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Зн. экстремумы в точках:
_________________ _________________
3 / ____ 3 / ____
\/ 27*\/ 15 + 108 3 \/ 27*\/ 15 + 108 3 4 3
(- -------------------- - --------------------, - -------------------- + --------------------------------------------- - ------------------------------------------------ - --------------------)
3 _________________ 3 _________________ 2 _________________
3 / ____ 3 / ____ / _________________ \ 3 / ____
\/ 27*\/ 15 + 108 \/ 27*\/ 15 + 108 3 | 3 / ____ | \/ 27*\/ 15 + 108
- -------------------- - -------------------- | \/ 27*\/ 15 + 108 3 |
3 _________________ |- -------------------- - --------------------|
3 / ____ | 3 _________________|
\/ 27*\/ 15 + 108 | 3 / ____ |
\ \/ 27*\/ 15 + 108 / Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \frac{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}{3} - \frac{3}{\sqrt[3]{27 \sqrt{15} + 108}}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 4$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{4}{x}\right)}{x^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[4, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 4\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + 3/x - 4/(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = - x - \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x}$$
- Нет
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = x + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = - x - \frac{4}{x^{2}} - \frac{3}{x}$$
- Нет
$$x - \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x} = x + \frac{4}{x^{2}} + \frac{3}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График