Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная$$2 + \frac{2 x + 2}{x^{2}} - \frac{2 \left(x + 1\right)^{2}}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнениеКорни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
Зн. экстремумы в точках:
2
/ ____________ \
| / ____ |
| 1 / \/ 69 1 |
|------------------- + 3 / ------ + - + 1|
| ____________ \/ 18 2 |
| / ____ |
____________ ____________ | / \/ 69 1 |
/ ____ / ____ |3*3 / ------ + - |
1 / \/ 69 1 2 / \/ 69 1 \ \/ 18 2 /
(------------------- + 3 / ------ + -, ------------------- + 2*3 / ------ + - + ----------------------------------------------)
____________ \/ 18 2 ____________ \/ 18 2 2
/ ____ / ____ / ____________\
/ \/ 69 1 / \/ 69 1 | / ____ |
3*3 / ------ + - 3*3 / ------ + - | 1 / \/ 69 1 |
\/ 18 2 \/ 18 2 |------------------- + 3 / ------ + - |
| ____________ \/ 18 2 |
| / ____ |
| / \/ 69 1 |
|3*3 / ------ + - |
\ \/ 18 2 /
Интервалы возрастания и убывания функции:Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}$$
Максимумов у функции нет
Убывает на промежутках
$$\left[\frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{1}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{69}}{18} + \frac{1}{2}}\right]$$