Господин Экзамен

График функции y = (x+1)^4-3

v

График:

от до

Точки пересечения:

показывать?

Кусочно-заданная:

Решение

Вы ввели [src]
              4    
f(x) = (x + 1)  - 3
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 1\right)^{4} - 3$$
f = (x + 1)^4 - 1*3
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 1\right)^{4} - 3 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = -1 + \sqrt[4]{3}$$
$$x_{2} = - \sqrt[4]{3} - 1$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.31607401295249$$
$$x_{2} = 0.316074012952492$$
Точки пересечения с осью координат Y
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в (x + 1)^4 - 1*3.
$$\left(-1\right) 3 + \left(0 + 1\right)^{4}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = -2$$
Точка:
(0, -2)
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$4 \left(x + 1\right)^{3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -1*3)


Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$12 \left(x + 1\right)^{2} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 1\right)^{4} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right)^{4} - 3\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 1)^4 - 1*3, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{4} - 3}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{4} - 3}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 1\right)^{4} - 3 = \left(- x + 1\right)^{4} - 3$$
- Нет
$$\left(x + 1\right)^{4} - 3 = - \left(- x + 1\right)^{4} + 3$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График
График функции y = (x+1)^4-3