График функции y = x+log(x^2-1)

Вы ввели [src]

              / 2    \
f(x) = x + log\x  - 1/

$$f{\left(x \right)} = x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$$

f = x + log(x^2 - 1*1)

График функции

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Численное решение
$$x_{1} = 1.14775763214474$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x + log(x^2 - 1*1).
$$0 + \log{\left(\left(-1\right) 1 + 0^{2} \right)}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = i \pi$$
Точка:

(0, pi*i)

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{2 x}{x^{2} - 1} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1 + \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Зн. экстремумы в точках:

                     /              2    \                
        ___          |  /       ___\     |     ___        
(-1 + \/ 2, -1 + log\- \-1 + \/ 2 /  + 1/ + \/ 2  + I*pi)

                               /                  2\ 
     ___          ___          |     /    ___    \ | 
(- \/ 2  - 1, - \/ 2  - 1 + log\-1 + \- \/ 2  - 1/ /)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = - \sqrt{2} - 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} - 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[- \sqrt{2} - 1, \infty\right)$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(- \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1} + 1\right)}{x^{2} - 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x + log(x^2 - 1*1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} = - x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$$
- Нет
$$x + \log{\left(x^{2} - 1 \right)} = x - \log{\left(x^{2} - 1 \right)}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = x+log(x^2-1)

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение