Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(x^2-15*x+15)*e^(x+3)
- 1/3*cos(3*x)
-
cbrt(1+x^3)
-
x^4-6*x^2+8
- Производная:
-
(x+2)*e^(1/x)
-
Идентичные выражения
- (x+ два)*e^(один /x)
- (x плюс 2) умножить на e в степени (1 делить на x)
- (x плюс два) умножить на e в степени (один делить на x)
- (x+2)*e(1/x)
- x+2*e1/x
- (x+2)e^(1/x)
- (x+2)e(1/x)
- x+2e1/x
- x+2e^1/x
- (x+2)*e^(1 разделить на x)
-
Похожие выражения
- (x-2)*e^(1/x)
График функции y = (x+2)*e^(1/x)
Решение
Вы ввели
[src]
x ___ f(x) = (x + 2)*\/ e
$$f{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}}$$
f = (x + 2)*E^(1/x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
значит надо решить уравнение:
$$\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = -2$$
Численное решение
$$x_{1} = -2$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - \frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 2\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$e^{1 \cdot \frac{1}{x}} - \frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:
-1 (-1, e )
1/2 (2, 4*e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-1, 2\right]$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right)}{x} - 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{5}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right)}{x} - 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right)}{x} - 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2}{5}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{5}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right)}{x} - 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{2}{5}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right)}{x} - 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{\left(2 + \frac{1}{x}\right) \left(x + 2\right)}{x} - 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \frac{2}{5}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \frac{2}{5}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)*E^(1/x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}} = \left(- x + 2\right) e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}} = - \left(- x + 2\right) e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}} = \left(- x + 2\right) e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
$$\left(x + 2\right) e^{1 \cdot \frac{1}{x}} = - \left(- x + 2\right) e^{- \frac{1}{x}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График