Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
-
Идентичные выражения
- (x+ два)/(x^ три + восемь)
- (x плюс 2) делить на (x в кубе плюс 8)
- (x плюс два) делить на (x в степени три плюс восемь)
- (x+2)/(x3+8)
- x+2/x3+8
- (x+2)/(x³+8)
- (x+2)/(x в степени 3+8)
- x+2/x^3+8
- (x+2) разделить на (x^3+8)
-
Похожие выражения
- (x+2)/(x^3-8)
- (x-2)/(x^3+8)
График функции y = (x+2)/(x^3+8)
Решение
Вы ввели
[src]
x + 2
f(x) = ------
3
x + 8
$$f{\left(x \right)} = \frac{x + 2}{x^{3} + 8}$$
f = (x + 2)/(x^3 + 8)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 2}{x^{3} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x + 2}{x^{3} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{2} \left(x + 2\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{3 x^{2} \left(x + 2\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}} + \frac{1}{x^{3} + 8} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
(1, 1/3)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 1\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 8} - 1\right) - x\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{6 x \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 8} - 1\right) - x\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}}\right) = 0.0277777777777778$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{6 x \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 8} - 1\right) - x\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}}\right) = 0.0277777777777778$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{6 x \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 8} - 1\right) - x\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 2$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{6 x \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 8} - 1\right) - x\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}}\right) = 0.0277777777777778$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{6 x \left(\left(x + 2\right) \left(\frac{3 x^{3}}{x^{3} + 8} - 1\right) - x\right)}{\left(x^{3} + 8\right)^{2}}\right) = 0.0277777777777778$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left[0, 2\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{1} = -2$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x^{3} + 8}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x^{3} + 8}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x^{3} + 8}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x^{3} + 8}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x + 2)/(x^3 + 8), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 2}{x \left(x^{3} + 8\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 2}{x^{3} + 8} = \frac{- x + 2}{- x^{3} + 8}$$
- Нет
$$\frac{x + 2}{x^{3} + 8} = - \frac{- x + 2}{- x^{3} + 8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x + 2}{x^{3} + 8} = \frac{- x + 2}{- x^{3} + 8}$$
- Нет
$$\frac{x + 2}{x^{3} + 8} = - \frac{- x + 2}{- x^{3} + 8}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График