Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(log(x))/(x)
- (1/16)*x^4-(1/2)*x^2+5
-
3*x^4-6*x^2-1
-
x^3/3-36*x+9
-
Идентичные выражения
- (x- три)/(x^ два - три)
- (x минус 3) делить на (x в квадрате минус 3)
- (x минус три) делить на (x в степени два минус три)
- (x-3)/(x2-3)
- x-3/x2-3
- (x-3)/(x²-3)
- (x-3)/(x в степени 2-3)
- x-3/x^2-3
- (x-3) разделить на (x^2-3)
-
Похожие выражения
- (x-3)/(x^2+3)
- (x+3)/(x^2-3)
График функции y = (x-3)/(x^2-3)
Решение
Вы ввели
[src]
x - 3
f(x) = ------
2
x - 3
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 3}{x^{2} - 3}$$
f = (x - 1*3)/(x^2 - 1*3)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 3$$
Численное решение
$$x_{1} = 3$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{6} + 3$$
$$x_{2} = \sqrt{6} + 3$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{6} + 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{6} + 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{6} + 3, \sqrt{6} + 3\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{6} + 3\right] \cup \left[\sqrt{6} + 3, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 3} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{6} + 3$$
$$x_{2} = \sqrt{6} + 3$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ -3 - \/ 6 + 3
(- \/ 6 + 3, -------------------)
2
/ ___ \
-3 + \- \/ 6 + 3/ ___
___ -3 + \/ 6 + 3
(\/ 6 + 3, -----------------)
2
/ ___ \
-3 + \\/ 6 + 3/ Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{6} + 3$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{6} + 3$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{6} + 3, \sqrt{6} + 3\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{6} + 3\right] \cup \left[\sqrt{6} + 3, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{6}{\sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}} + 3 + \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 2.30530000106498 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 2.30530000106498 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 6.17703273596827 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 6.17703273596827 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{6}{\sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}} + 3 + \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{6}{\sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}} + 3 + \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = \frac{6}{\sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}} + 3 + \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 2.30530000106498 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 2.30530000106498 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^-}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 6.17703273596827 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 1.73205080756888^+}\left(\frac{2 \left(\left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 3} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} - 3\right)^{2}}\right) = 6.17703273596827 \cdot 10^{47}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\frac{6}{\sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}} + 3 + \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, \frac{6}{\sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}} + 3 + \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 18}\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
$$x_{1} = -1.73205080756888$$
$$x_{2} = 1.73205080756888$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 3}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*3)/(x^2 - 1*3), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 3\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 3} = \frac{- x - 3}{x^{2} - 3}$$
- Нет
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 3} = - \frac{- x - 3}{x^{2} - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 3} = \frac{- x - 3}{x^{2} - 3}$$
- Нет
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 3} = - \frac{- x - 3}{x^{2} - 3}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График