Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
-
(log(x))/(x)
- (1/16)*x^4-(1/2)*x^2+5
-
sin(x)+1/sin(x)
-
2*x^2-13*x+18
-
Идентичные выражения
- sin(x)+ один /sin(x)
- синус от (x) плюс 1 делить на синус от (x)
- синус от (x) плюс один делить на синус от (x)
- sinx+1/sinx
- sin(x)+1 разделить на sin(x)
-
Похожие выражения
- sin(x)-1/sin(x)
- sinx+1/sinx
-
Что Вы имели ввиду?
- (sin(x) + 1)/sin(x)
- (sin(x) + 1)*x/sin(x)
- sin(x + 1)/sin(x)
- sin(x + 1)*x/sin(x)
- sin(x) + 1/sin(x)
- sin(x) + 1*x/sin(x)
- sin(x) + 1*x/sin(x)
Вы ввели:
sin(x)+1/sin(x)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = sin(x)+1/sin(x)
Решение
Вы ввели
[src]
1
f(x) = sin(x) + 1*------
sin(x)
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
f = sin(x) + 1/sin(x)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
значит надо решить уравнение:
$$\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдено,
может быть, что график не пересекает ось X
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\cos{\left(x \right)} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Зн. экстремумы в точках:
-pi (----, -2) 2
pi (--, 2) 2
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумов у функции нет
Не изменяет значения на всей числовой оси
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.08892367577758 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.08892367577758 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = \infty$$
Возьмём предел
- пределы не равны, зн.
$$x_{1} = 0$$
- является точкой перегиба
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^-}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.08892367577758 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to 3.14159265358979^+}\left(- \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} + \frac{2 \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{3}{\left(x \right)}}\right) = 1.08892367577758 \cdot 10^{48}$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Не имеет изгибов на всей числовой оси
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 3.14159265358979$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции sin(x) + 1/sin(x), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x \lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right)$$
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = - \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
$$\sin{\left(x \right)} + 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(x \right)}} = \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{\sin{\left(x \right)}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График