Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3-4)/x^2
- e^x*cos(x)
-
x+4
-
sqrt(x+4)+2/3*sqrt(9-3*x)
-
Идентичные выражения
- (x- пять)/(x^ два + одиннадцать)
- (x минус 5) делить на (x в квадрате плюс 11)
- (x минус пять) делить на (x в степени два плюс одиннадцать)
- (x-5)/(x2+11)
- x-5/x2+11
- (x-5)/(x²+11)
- (x-5)/(x в степени 2+11)
- x-5/x^2+11
- (x-5) разделить на (x^2+11)
-
Похожие выражения
- (x+5)/(x^2+11)
- (x-5)/(x^2-11)
График функции y = (x-5)/(x^2+11)
Решение
Вы ввели
[src]
x - 5
f(x) = -------
2
x + 11
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 5}{x^{2} + 11}$$
f = (x - 1*5)/(x^2 + 11)
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 5}{x^{2} + 11} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 5$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 5}{x^{2} + 11} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 5$$
Численное решение
$$x_{1} = 5$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x - 5\right)}{\left(x^{2} + 11\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 11} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 11$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 11$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 11\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[11, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x \left(x - 5\right)}{\left(x^{2} + 11\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 11} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 11$$
Зн. экстремумы в точках:
(-1, -1/12*5 - 1/12)
(11, -1/132*5 + 1/12)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 11$$
Убывает на промежутках
$$\left[-1, 11\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[11, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 11} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} + 11\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 5 + \frac{36}{\sqrt[3]{180 + 36 \sqrt{11} i}} + \sqrt[3]{180 + 36 \sqrt{11} i}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[5 + 12 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 5 + 12 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \left(\left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 11} - 1\right) - 2 x\right)}{\left(x^{2} + 11\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 5 + \frac{36}{\sqrt[3]{180 + 36 \sqrt{11} i}} + \sqrt[3]{180 + 36 \sqrt{11} i}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[5 + 12 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{3} \right)}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 5 + 12 \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{11}}{5} \right)}}{3} \right)}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x^{2} + 11}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x^{2} + 11}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x^{2} + 11}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x^{2} + 11}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*5)/(x^2 + 11), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x \left(x^{2} + 11\right)}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 5}{x^{2} + 11} = \frac{- x - 5}{x^{2} + 11}$$
- Нет
$$\frac{x - 5}{x^{2} + 11} = - \frac{- x - 5}{x^{2} + 11}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 5}{x^{2} + 11} = \frac{- x - 5}{x^{2} + 11}$$
- Нет
$$\frac{x - 5}{x^{2} + 11} = - \frac{- x - 5}{x^{2} + 11}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График