Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^3+16)/x
- (x^3-27*x+54)/(x^3)
- sqrt(x)^2-1
-
sqrt(3)/2*x-sin(x)
- Производная:
-
(x-1)/(x+3)^2
-
Идентичные выражения
- (x- один)/(x+ три)^ два
- (x минус 1) делить на (x плюс 3) в квадрате
- (x минус один) делить на (x плюс три) в степени два
- (x-1)/(x+3)2
- x-1/x+32
- (x-1)/(x+3)²
- (x-1)/(x+3) в степени 2
- x-1/x+3^2
- (x-1) разделить на (x+3)^2
-
Похожие выражения
- (x+1)/(x+3)^2
- (x-1)/(x-3)^2
График функции y = (x-1)/(x+3)^2
Решение
Вы ввели
[src]
x - 1
f(x) = --------
2
(x + 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}}$$
f = (x - 1*1)/((x + 3)^2)
График функции
Область определения функции
Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 1$$
Численное решение
$$x_{1} = 1$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{\left(- 2 x - 6\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 3\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{\left(- 2 x - 6\right) \left(x - 1\right)}{\left(x + 3\right)^{4}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 5$$
Зн. экстремумы в точках:
(5, -1/64*1 + 5/64)
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумов у функции нет
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = 5$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, 5\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left[5, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{x + 3} - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 9$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{x + 3} - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{x + 3} - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[9, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 9\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{x + 3} - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 9$$
Также нужно подсчитать пределы y'' для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -3$$
$$\lim_{x \to -3^-}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{x + 3} - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
$$\lim_{x \to -3^+}\left(\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \left(x - 1\right)}{x + 3} - 2\right)}{\left(x + 3\right)^{3}}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
- пределы равны, зн. пропускаем соответствующую точку
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[9, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, 9\right]$$
Вертикальные асимптоты
Есть:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{1} = -3$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции (x - 1*1)/((x + 3)^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 1}{x \left(x + 3\right)^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = \frac{- x - 1}{\left(- x + 3\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = - \frac{- x - 1}{\left(- x + 3\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = \frac{- x - 1}{\left(- x + 3\right)^{2}}$$
- Нет
$$\frac{x - 1}{\left(x + 3\right)^{2}} = - \frac{- x - 1}{\left(- x + 3\right)^{2}}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
График