Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- 2/3*x^3-8*x^2+15
- (|x^3-4|)
- -x^3+12*x^2-45*x+53
-
(x+7)/(x-7)
- Интеграл d{x}:
-
x/(5+x^2)
- Производная:
-
x/(5+x^2)
- Предел функции:
-
x/(5+x^2)
-
Идентичные выражения
- x/(пять +x^ два)
- x делить на (5 плюс x в квадрате )
- x делить на (пять плюс x в степени два)
- x/(5+x2)
- x/5+x2
- x/(5+x²)
- x/(5+x в степени 2)
- x/5+x^2
- x разделить на (5+x^2)
-
Похожие выражения
- x/(5-x^2)
График функции y = x/(5+x^2)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = \sqrt{5}$$
Зн. экстремумы в точках:
___
___ -\/ 5
(-\/ 5, -------)
10 ___
___ \/ 5
(\/ 5, -----)
10 Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = - \sqrt{5}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = \sqrt{5}$$
Убывает на промежутках
$$\left[- \sqrt{5}, \sqrt{5}\right]$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{5}\right] \cup \left[\sqrt{5}, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 5} - 3\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{15}$$
$$x_{3} = \sqrt{15}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{15}, 0\right] \cup \left[\sqrt{15}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{15}\right] \cup \left[0, \sqrt{15}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2 x \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 5} - 3\right)}{\left(x^{2} + 5\right)^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{15}$$
$$x_{3} = \sqrt{15}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[- \sqrt{15}, 0\right] \cup \left[\sqrt{15}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{15}\right] \cup \left[0, \sqrt{15}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{x^{2} + 5}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/(5 + x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2} + 5} = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} + 5} = - \frac{x}{x^{2} + 5}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} + 5} = \frac{x}{x^{2} + 5}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{x^{2} + 5} = - \frac{x}{x^{2} + 5}$$
- Нет
$$\frac{x}{x^{2} + 5} = \frac{x}{x^{2} + 5}$$
- Да
значит, функция
является
нечётной
График