График функции y = x/4+1/x-2

Вы ввели [src]

       x     1    
f(x) = - + 1*- - 2
       4     x

$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x}$$

f = x/4 - 1*2 + 1/x

График функции

Область определения функции

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = 0$$

Точки пересечения с осью координат X

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = - 2 \sqrt{3} + 4$$
$$x_{2} = 2 \sqrt{3} + 4$$
Численное решение
$$x_{1} = 0.535898384862245$$
$$x_{2} = 7.46410161513775$$

Точки пересечения с осью координат Y

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x/4 + 1/x - 1*2.
$$\left(-1\right) 2 + \frac{0}{4} + 1 \cdot \frac{1}{0}$$
Результат:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
зн.f не пересекает Y

Экстремумы функции

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$\frac{1}{4} - \frac{1}{x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Зн. экстремумы в точках:

(-2, -2 - 1)

(2, -2 + 1)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 2$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -2$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left[-2, 2\right]$$

Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$\frac{2}{x^{3}} = 0$$
Решаем это уравнение
Решения не найдены,
возможно перегибов у функции нет

Вертикальные асимптоты

Есть:
$$x_{1} = 0$$

Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = -\infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты слева не существует
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right) = \infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x/4 + 1/x - 1*2, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты слева:
$$y = \frac{x}{4}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x}}{x}\right) = \frac{1}{4}$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = \frac{x}{4}$$

Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x} = - \frac{x}{4} - 2 - \frac{1}{x}$$
- Нет
$$\frac{x}{4} - 2 + 1 \cdot \frac{1}{x} = \frac{x}{4} + 2 + \frac{1}{x}$$
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

График

Другие калькуляторы

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

График функции y = x/4+1/x-2

График:

Точки пересечения:

Кусочно-заданная:

Решение