Господин Экзамен
Другие калькуляторы
- График неявной функции
- Производная по шагам
- Интеграл по шагам
- График параметрической функции
- График в полярных координатах
- Поверхность, заданная параметрически
- Поверхность, заданная уравнением
- Кривая в пространстве, заданная параметрически
- Площадь фигуры ограниченной линиями
- Точки пересечения функций
-
Как пользоваться?
- График функции y =:
- (x^2+4*x-12)
- (sin(x))^(1/2)
-
log(9-x^2)/log(1/3)
- x^2*log(x)/x
-
Идентичные выражения
- восемь *x^ два *e^(-x^ два)
- 8 умножить на x в квадрате умножить на e в степени ( минус x в квадрате )
- восемь умножить на x в степени два умножить на e в степени ( минус x в степени два)
- 8*x2*e(-x2)
- 8*x2*e-x2
- 8*x²*e^(-x²)
- 8*x в степени 2*e в степени (-x в степени 2)
- 8x^2e^(-x^2)
- 8x2e(-x2)
- 8x2e-x2
- 8x^2e^-x^2
-
Похожие выражения
- 8*x^2*e^(x^2)
-
Что Вы имели ввиду?
- 8*x^2/e^(x^2)
- 8*x^((2*e)^(-x^2))
- 8*x^((2*e)^(-x^2))
Вы ввели:
8*x^2*e^(-x^2)
Что Вы имели ввиду?
График функции y = 8*x^2*e^(-x^2)
Решение
График функции
Точки пересечения с осью координат X
График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$8 x^{2} e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 84.3705804501061$$
$$x_{2} = -30.3259403653992$$
$$x_{3} = 92.360133504691$$
$$x_{4} = -40.2448864521379$$
$$x_{5} = 66.403290943532$$
$$x_{6} = 76.3832156557363$$
$$x_{7} = -68.1442655052736$$
$$x_{8} = 96.3555601154671$$
$$x_{9} = 30.5846168553444$$
$$x_{10} = -86.1141041747483$$
$$x_{11} = 70.3945765660469$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 78.3798150927869$$
$$x_{14} = -54.1815837376305$$
$$x_{15} = 86.3677872913652$$
$$x_{16} = -36.2719512012661$$
$$x_{17} = 62.4131221213642$$
$$x_{18} = 6.29327651798594$$
$$x_{19} = -60.1634642043833$$
$$x_{20} = 24.6664532237645$$
$$x_{21} = 88.3651205438093$$
$$x_{22} = 14.950430837394$$
$$x_{23} = 80.3765837184293$$
$$x_{24} = -64.153266502559$$
$$x_{25} = 58.424299226677$$
$$x_{26} = -46.2130628468728$$
$$x_{27} = 40.5019366629095$$
$$x_{28} = 36.5295836820922$$
$$x_{29} = -26.3755863104435$$
$$x_{30} = -84.1168181576515$$
$$x_{31} = -44.2227118974752$$
$$x_{32} = 13.0598983561076$$
$$x_{33} = 20.7473436041177$$
$$x_{34} = 32.5640216511379$$
$$x_{35} = 50.4519702248042$$
$$x_{36} = 26.6350843608447$$
$$x_{37} = -22.4429460145513$$
$$x_{38} = -66.148629968056$$
$$x_{39} = 100.254989611738$$
$$x_{40} = 72.3905803936132$$
$$x_{41} = 56.4304818282205$$
$$x_{42} = -14.6890203467784$$
$$x_{43} = -100.005004913281$$
$$x_{44} = 22.7033444775296$$
$$x_{45} = 11.2087822848156$$
$$x_{46} = -98.0051010366191$$
$$x_{47} = -74.1325845903547$$
$$x_{48} = -78.1257937648427$$
$$x_{49} = -88.1115133697511$$
$$x_{50} = -76.1290999941112$$
$$x_{51} = -42.2332744761214$$
$$x_{52} = -56.1751139650168$$
$$x_{53} = 64.4080539430657$$
$$x_{54} = 44.4792557432379$$
$$x_{55} = -32.3057178651992$$
$$x_{56} = 16.8667179989575$$
$$x_{57} = -50.1960696523099$$
$$x_{58} = 82.373509219748$$
$$x_{59} = 74.3867990427386$$
$$x_{60} = 38.5150430132224$$
$$x_{61} = 7.74828969991155$$
$$x_{62} = -10.9509764403777$$
$$x_{63} = -96.1022286535967$$
$$x_{64} = -18.5394581139119$$
$$x_{65} = 28.6080894901013$$
$$x_{66} = -72.1362623771784$$
$$x_{67} = -48.2042139041557$$
$$x_{68} = -24.4065109032497$$
$$x_{69} = -62.1582013428865$$
$$x_{70} = -34.2878507378835$$
$$x_{71} = 68.3988063860272$$
$$x_{72} = -82.119664322104$$
$$x_{73} = -16.605220572771$$
$$x_{74} = 18.8007010849598$$
$$x_{75} = 42.4900628136147$$
$$x_{76} = -20.4864973292478$$
$$x_{77} = -94.1044015166185$$
$$x_{78} = 60.4185257477258$$
$$x_{79} = 9.42191641582705$$
$$x_{80} = -9.17122786256394$$
$$x_{81} = -7.51536641574372$$
$$x_{82} = -70.1401498664268$$
$$x_{83} = 54.4371185782855$$
$$x_{84} = 34.5458069419562$$
$$x_{85} = -6.10415390792392$$
$$x_{86} = -80.1226525565968$$
$$x_{87} = 52.4442613518786$$
$$x_{88} = -28.3490146177897$$
$$x_{89} = 94.3577984821204$$
$$x_{90} = -52.1885492464389$$
$$x_{91} = -38.257711972622$$
$$x_{92} = 48.4603151581145$$
$$x_{93} = 46.4693781147482$$
$$x_{94} = 90.3625718223566$$
$$x_{95} = -58.1690888802429$$
$$x_{96} = 98.2550884284224$$
$$x_{97} = -90.109037555503$$
$$x_{98} = -12.7993666831315$$
$$x_{99} = -92.1066691734034$$
значит надо решить уравнение:
$$8 x^{2} e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 84.3705804501061$$
$$x_{2} = -30.3259403653992$$
$$x_{3} = 92.360133504691$$
$$x_{4} = -40.2448864521379$$
$$x_{5} = 66.403290943532$$
$$x_{6} = 76.3832156557363$$
$$x_{7} = -68.1442655052736$$
$$x_{8} = 96.3555601154671$$
$$x_{9} = 30.5846168553444$$
$$x_{10} = -86.1141041747483$$
$$x_{11} = 70.3945765660469$$
$$x_{12} = 0$$
$$x_{13} = 78.3798150927869$$
$$x_{14} = -54.1815837376305$$
$$x_{15} = 86.3677872913652$$
$$x_{16} = -36.2719512012661$$
$$x_{17} = 62.4131221213642$$
$$x_{18} = 6.29327651798594$$
$$x_{19} = -60.1634642043833$$
$$x_{20} = 24.6664532237645$$
$$x_{21} = 88.3651205438093$$
$$x_{22} = 14.950430837394$$
$$x_{23} = 80.3765837184293$$
$$x_{24} = -64.153266502559$$
$$x_{25} = 58.424299226677$$
$$x_{26} = -46.2130628468728$$
$$x_{27} = 40.5019366629095$$
$$x_{28} = 36.5295836820922$$
$$x_{29} = -26.3755863104435$$
$$x_{30} = -84.1168181576515$$
$$x_{31} = -44.2227118974752$$
$$x_{32} = 13.0598983561076$$
$$x_{33} = 20.7473436041177$$
$$x_{34} = 32.5640216511379$$
$$x_{35} = 50.4519702248042$$
$$x_{36} = 26.6350843608447$$
$$x_{37} = -22.4429460145513$$
$$x_{38} = -66.148629968056$$
$$x_{39} = 100.254989611738$$
$$x_{40} = 72.3905803936132$$
$$x_{41} = 56.4304818282205$$
$$x_{42} = -14.6890203467784$$
$$x_{43} = -100.005004913281$$
$$x_{44} = 22.7033444775296$$
$$x_{45} = 11.2087822848156$$
$$x_{46} = -98.0051010366191$$
$$x_{47} = -74.1325845903547$$
$$x_{48} = -78.1257937648427$$
$$x_{49} = -88.1115133697511$$
$$x_{50} = -76.1290999941112$$
$$x_{51} = -42.2332744761214$$
$$x_{52} = -56.1751139650168$$
$$x_{53} = 64.4080539430657$$
$$x_{54} = 44.4792557432379$$
$$x_{55} = -32.3057178651992$$
$$x_{56} = 16.8667179989575$$
$$x_{57} = -50.1960696523099$$
$$x_{58} = 82.373509219748$$
$$x_{59} = 74.3867990427386$$
$$x_{60} = 38.5150430132224$$
$$x_{61} = 7.74828969991155$$
$$x_{62} = -10.9509764403777$$
$$x_{63} = -96.1022286535967$$
$$x_{64} = -18.5394581139119$$
$$x_{65} = 28.6080894901013$$
$$x_{66} = -72.1362623771784$$
$$x_{67} = -48.2042139041557$$
$$x_{68} = -24.4065109032497$$
$$x_{69} = -62.1582013428865$$
$$x_{70} = -34.2878507378835$$
$$x_{71} = 68.3988063860272$$
$$x_{72} = -82.119664322104$$
$$x_{73} = -16.605220572771$$
$$x_{74} = 18.8007010849598$$
$$x_{75} = 42.4900628136147$$
$$x_{76} = -20.4864973292478$$
$$x_{77} = -94.1044015166185$$
$$x_{78} = 60.4185257477258$$
$$x_{79} = 9.42191641582705$$
$$x_{80} = -9.17122786256394$$
$$x_{81} = -7.51536641574372$$
$$x_{82} = -70.1401498664268$$
$$x_{83} = 54.4371185782855$$
$$x_{84} = 34.5458069419562$$
$$x_{85} = -6.10415390792392$$
$$x_{86} = -80.1226525565968$$
$$x_{87} = 52.4442613518786$$
$$x_{88} = -28.3490146177897$$
$$x_{89} = 94.3577984821204$$
$$x_{90} = -52.1885492464389$$
$$x_{91} = -38.257711972622$$
$$x_{92} = 48.4603151581145$$
$$x_{93} = 46.4693781147482$$
$$x_{94} = 90.3625718223566$$
$$x_{95} = -58.1690888802429$$
$$x_{96} = 98.2550884284224$$
$$x_{97} = -90.109037555503$$
$$x_{98} = -12.7993666831315$$
$$x_{99} = -92.1066691734034$$
Экстремумы функции
Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 16 x^{3} e^{- x^{2}} + 16 x e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
первая производная
$$- 16 x^{3} e^{- x^{2}} + 16 x e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Зн. экстремумы в точках:
-1 (-1, 8*e )
(0, 0)
-1 (1, 8*e )
Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{1} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = 1$$
Убывает на промежутках
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Возрастает на промежутках
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Точки перегибов
Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$16 \left(x^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 1\right) - 4 x^{2} + 1\right) e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}, \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
вторая производная
$$16 \left(x^{2} \cdot \left(2 x^{2} - 1\right) - 4 x^{2} + 1\right) e^{- x^{2}} = 0$$
Решаем это уравнение
Корни этого уравнения
$$x_{1} = - \sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
$$x_{2} = \sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
$$x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
$$x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}$$
Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках
$$\left[\sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}, \infty\right)$$
Выпуклая на промежутках
$$\left(-\infty, - \sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}\right] \cup \left[\sqrt{- \frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}, \sqrt{\frac{\sqrt{17}}{4} + \frac{5}{4}}\right]$$
Горизонтальные асимптоты
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x^{2} e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x^{2} e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x^{2} e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x^{2} e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = 0$$
Наклонные асимптоты
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 8*x^2/E^(x^2), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
$$\lim_{x \to -\infty}\left(8 x e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой справа
$$\lim_{x \to \infty}\left(8 x e^{- x^{2}}\right) = 0$$
Возьмём предел
значит,
наклонная совпадает с горизонтальной асимптотой слева
Чётность и нечётность функции
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$8 x^{2} e^{- x^{2}} = 8 x^{2} e^{- x^{2}}$$
- Да
$$8 x^{2} e^{- x^{2}} = - 8 x^{2} e^{- x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
Итак, проверяем:
$$8 x^{2} e^{- x^{2}} = 8 x^{2} e^{- x^{2}}$$
- Да
$$8 x^{2} e^{- x^{2}} = - 8 x^{2} e^{- x^{2}}$$
- Нет
значит, функция
является
чётной
График